Intégrale généralisée
Salut
Je dois calculer l'intégrale suivante $$ I=\int_a^b \frac{1}{(b-x)^\alpha(x-a)^{(2-\alpha)} }dx ,$$ tel que $\alpha \in [0;1[$ est une constante.
J'ai essayé de simplifier l'expression et d'appliquer l'intégration par parties, mais en vain
\begin{align*}
I&=\int_a^b \Big(\frac{x-a}{b-x}\Big)^\alpha\frac{1}{(x-a)^2}dx \\
I&=\frac{1}{b-a}\int_a^b \frac{b-a}{(b-x)^2}\Big(\frac{x-a}{b-x}\Big)^\alpha\Big( \frac{b-x}{x-a}\Big)^2dx .
\end{align*}
\begin{align*}
I&=\int_a^b \Big(\frac{x-a}{b-x}\Big)^\alpha\frac{1}{(x-a)^2}dx \\
I&=\frac{1}{b-a}\int_a^b \frac{b-a}{(b-x)^2}\Big(\frac{x-a}{b-x}\Big)^\alpha\Big( \frac{b-x}{x-a}\Big)^2dx .
\end{align*}
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Réponses
Pourquoi l'intégrale diverge en $a$?
L'intégrale est généralisée parce que la fonction à intégré n'est pas définie en $ a$ et $b$.
Ton intégrale numérique fait intervenir les fonctions eulériennes Beta et Gamma,
je n'ai pas trouvé la forme explicitée avec les paramètres a, b réels, et $0 < \alpha < 1$.
Je signale une intégrale numérique simple dans le même style que la tienne : $$\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} = \pi$$
le résultat, calculé en passant par la recherche de la primitive (à une constante additive près)
ne dépend pas des bornes d'intégration a et b
Cordialement
La bonne intégrale est sans doute $I=\displaystyle\int_a^b \frac{1}{(b-x)^\alpha(x-a)^{1-\alpha} }dx$ qui vaut $\dfrac{\pi}{\sin(\pi\alpha)}$ pour $0<\alpha<1$.