Équicontinuité et extraction diagonale

Il faudrait peut-être commencer par là, tu ne penses pas ?

Deux remarques tout de même
1) Ce n'est pas parce que l'exercice fait intervenir la "diagonale" de $X\times X$ qu'il s'agit d'un procédé d'extraction diagonale. D'ailleurs, sur un espace topologique quelconque $X$ il n'y a pas vraiment de raison qu'une extraction diagonale serve à quelque chose puisque la topologie n'est pas déterminée par les suites et que $X$ n'a aucune raison d'être séparable. 
2) La topologie générale n'est pas au programme de l'agrégation externe, si réellement c'est pour l'agrégation externe que tu poses ces questions tu peux te contenter de travailler dans des espaces métriques.

Un peu de $\rm\LaTeX$...

Soit A une famille de fonctions de $X$ dans $Y$. On veut montrer que $A$ est équicontinue si et seulement si pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\Omega$ ouvert contenant $\Delta =\{(x,x); x\in  X\}$ tel que pour tous $(x,x') \in  \Omega$ et $f \in  A$, $d(f(x),f(x'))<\varepsilon$.
Supposons que $A$ soit équicontinue sur $X$, alors pour tout $x_0 \in  X$ et tout $\varepsilon>0$, il existe $V$ voisinage de $x_0$ tel que pour $x \in  V$ et $f \in  A$, on ait $d(f(x),f(x'))<\varepsilon$.
Soit donc $\varepsilon>0$. Pour $x_0 \in  X$, on note $V_{x_0}$ le voisinage de $x_0$ témoignant de l'équicontinuité de $A$ en $x_0$. Posons $\Omega  = \bigcup_{x_0,x_0'\in X} V_{x_0} \times V_{x_0'}$.
Alors $\Omega$  est bien un ouvert de $X\times X$ comme réunion de produits d'ouverts et il contient bien $\Delta$.
Soit $(x,x') \in  \Omega$, $(x,x')$ est contenu dans l'ouvert élémentaire $V_x\times V_{x'}$ et pour tout $y \in  V_x$, $d(f(x),f(y))<\varepsilon$ et pour $z \in  V_{x'}$, $d(f(x'),f(z))<\varepsilon$.
Par inégalité triangulaire, on peut majorer $d(f(x),f(x'))< d(f(x),f(y)) + d(f(y),f(z)) + d(f(z),f(x'))$ où $y \in  V_x$ et $z \in  V_{x'}$.
Comment peut-on majorer $d(f(y),f(z))$ ? C'est là que je bloque.
(L'implication dans l'autre sens, i.e. si A vérifie cette propriété, alors elle est équicontinue, m'a l'air plus facile).