Carré parfait ?

[Utilisateur supprimé] · April 2023

Bonjour,

Comment aborder ce problème (shtam) :
Existe-il $k \ge 3$ entier positif tel que $(2k^3 -6k^2+ 5k -1)^2+4k(k-1)^6$ soit un carré parfait ?

Edit : oui ça fonctionne pour $k=2$ et même $k=1$.

marco · April 2023

$k=2$

LP2 · April 2023

Je dirais même $k=1$...

[Utilisateur supprimé] · April 2023

Oui c'est vrai, j'avais oublié de préciser que $k \ge 3$ (message corrigé).

Joaopa · April 2023

C'est un problème qui se résout bien algorithmiquement. On doit résoudre en nombres entiers l'équation $y^2=(2k^3−6k^2+5k−1)^2+4k(k−1)^6$. Si on pose $z=\frac y{k-1}$, $(z,k)$ est solution de $z^2=4k^5-12k^4+8k^3+4k^2-4k+1$. C'est une courbe de genre $2$. Par le théorème de Faltings, elle admet un nombre fini de solutions rationnelles. Au moins ça permet de dire qu'il y un nombre fini de $k$ tel que ce qui est proposé est un carré.

Pour les trouver, c'est une autre paire de manches, à moins qu'il y ait une astuce calculatoire, et là ça ne m'intéresse pas du tout.

Ratpoint dit que pour $|k|\le 60000000$, il n' y pas d'autres solutions que celles déjà proposées.

[Utilisateur supprimé] · April 2023

Ok merci même si ça ne résout pas le problème

. Merci aussi pour le Ratpoint.
Il n'y a pas de raison que ce soit calculatoire, en tout cas, ça vient d'un autre problème que je me suis posé (c'est du shtam quoi).
Et si on pose $x=u^2$, on recherche des triplets pythagoriciens, ça ne permet pas d'obtenir une solution peut-être ?

Alain24 · April 2023

Pour commencer si on factorisait l'expression par $(k-1)^2$? ou même par $(k-1)^2(k-3)(k+3)$?

Alain24 · April 2023

$P(k)=(2k^3-6k^2+5k-1)^2-4k(k-1)^6=(k-1)^2((2k^2+4k-1)^2+4k(k-1)*4)$ et $(2k^2+4k-1)^2+4k(k-1)*4\equiv 9 \pmod n)$ si $k\equiv n-1 \pmod n)$ pour tout $n$, on choisit pour $n$ un multiple de $9$ et on obtient que $9$ divise $P(n-1+qn)$. Il peut être intéressant d'étudier ce qui se passe pour $P(k)$ dans $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ et plus généralement sur $\mathbb{Z}/9q\mathbb{Z}$. Pour $k=7$ j' obtiens pour $P(k)/(k-1)*2= 36538$ qui n'est pas un carré!

Carré parfait ?

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