Différence de tours de puissances

uvdose · April 2023

Je vous propose l'exercice suivant (que j'ai élaboré pour l'an prochain

et dont je possède la solution) :

1) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}-n^{n^{n^{n^{n}}}}$ est divisible par $2024$.

2) Montrer qu'il existe une infinité de $n\in\mathbb{N}^*$ tels que $2024$ ne divise pas $n^{n^{n^{n^{n}}}}-n^{n^{n^{n}}}$.

J'en viens à la question que je me pose.
Si $n\in\mathbb{N}^*$, notons $n\uparrow\uparrow0=1$ et $n\uparrow\uparrow k=\underbrace{n^{n^{\cdot^{\cdot^n}}}}_{k\text{ occurences de } n}$ si $k\in\mathbb{N}^*$.

La proposition $\mathscr{P}(x)$ suivante est-elle vraie pour tout $x\in\mathbb{N}^*$?

$\mathscr{P}(x)$ : Il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que , pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $x$ divise $n\uparrow\uparrow(k+1)-n\uparrow\uparrow k$ .

Si vous avez des références ou des idées, je suis preneur !
Merci.
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Remarque qui peut peut-être servir : il est facile de prouver que pour tous $k\in\mathbb{N}$ et $n\in\mathbb{N}^*$,

$n\uparrow\uparrow(k+1)-n\uparrow\uparrow k$ divise $n\uparrow\uparrow(k+2)-n\uparrow\uparrow(k+1)$ ,
ce qui permet de montrer que si $x_1$ et $x_2$ sont dans $\mathbb{N}^*$, premiers entre eux, et tels que $\mathscr{P}(x_1)$ et $\mathscr{P}(x_2)$ sont vraies, alors $\mathscr{P}(x_1x_2)$ est vraie.

JLT · April 2023

Une récurrence sur $x$ ? On note $n_k=n\uparrow\uparrow k$. On montre qu'il existe $k_x$ tel que pour tout $k\geqslant k_x$ on a $n_{k+1}\equiv n_k\,[x]$.

On peut supposer que $x=p^a$ avec $p$ premier.

1er cas : $p\mid n$. Il suffit de montrer l'existence de $k_x$ tel que pour tout $k\geqslant k_x$ on a $p^a\mid n_k=n^{n_{k-1}}$. Il suffit que $a\leqslant n_{k-1}$, donc il suffit de prendre $k_x$ tel que $a\leqslant 2 \uparrow\uparrow (k_x-1)$.

2e cas : $p\not\mid n$. Il suffit de montrer l'existence de $k_x$ tel que pour tout $k\geqslant k_x$ on a $n_k\equiv n_{k-1}\,[p^{a-1}(p-1)]$, ce qui est vrai par hypothèse de récurrence.