Moments de la fonction Zeta

Il est extrêmement rare d'avoir un résultat sans module ni exposant sur la fonction zêta de Dedekind.

Dans l'attente que tu précises si tu veux vraiment sous cette forme-là, voici l'outil de base que l'on dispose actuellement, qui est mieux qu'une simple minoration et qui est valide pour tout corps de nombres $K$ :  en reprenant les notations usuelles, i.e. $n > 1$ le degré, $(-1)^{r_2} d_K$ le discriminant et $r_K(n)$ le $n$-ème coefficient de $\zeta_K$, on a
$$\int_1^T \left| \zeta_K(\sigma + it) \right|^2 \, \textrm{d}t = \begin{cases} T \sum_{m=1}^\infty r_K(m)^2 m^{-2 \sigma} + O \left( T^{n(1-\sigma)/2+1/2} (\log T)^{n/2} \right), & \textrm{si} \ \sigma > 1 - \frac{1}{n} \, ; \\ & \\ O \left( T^{n (1-\sigma)} (\log T)^n \right) ,& \textrm{si} \ \frac{1}{n} \leqslant \sigma \leqslant 1 - \frac{1}{n} \, ; \\ & \\ \left( 4^{r_2} \pi^n d_K^{-1} \right)^{2 \sigma - 1} T^{1+n(1-2\sigma)}  \sum_{m=1}^\infty r_K(m)^2 m^{2-2 \sigma} & \\ & \\ \qquad + O \left( T^{n(1-2\sigma) + \frac{1}{2}(n \sigma + 1 )} (\log T)^{n/2}\right) ,& \textrm{si} \ 0 \leqslant \sigma < \frac{1}{n}. \end{cases}$$
Ce résultat est dû à Chandrasekharan & Narasimhan, dans l'article approximate functional equation for a class of Zeta-functions, Math. Ann. 152 (1963), 30--64.
En particulier, il donne
$$\int_1^T \left| \zeta_K(1 + it) \right|^2 \, \textrm{d}t = T \sum_{m=1}^\infty \left( \frac{r_K(m)}{m}\right)^2+ O \left( T^{1/2} (\log T)^{n/2} \right).$$
Maintenant, je ne peux que répéter de vérifier si tu souhaites vraiment un résultat sans module (une minoration ou une majoration de ça, ce n'est pas possible, évidemment) et, surtout, sans exposant, notamment un carré (ou plus généralement un exposant pair). 

Il y a (au moins) deux raisons pour lesquelles on se concentre sur les moments de puissance égale à $2$ (ou, plus généralement, de puissance paire) :

(i) On peut exploiter l'égalité $\left| z \right|^2 = z \times \overline{z}$ ;
 
(ii) En cas de majoration souhaitée, on utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 

Par exemple, dans le problème qui t'occupe, on a immédiatement
$$\int_1^T \left| \zeta_K(1+it) \right| \, \textrm{d}t \leqslant \left( \int_1^T \left| \zeta_K(1+it) \right|^2 \, \textrm{d}t \right)^{1/2}   \left( \int_1^T \textrm{d}t \right)^{1/2} \ll T^{1/2} \times T^{1/2} \ll T.$$