Dérivée d'intégrale généralisée dépendant d'un paramètre
Salut,
Je dois calculer la dérivée par rapport à $t$ de la fonction
$ (t,s) \rightarrow \int_{0}^t \frac{f(s)}{(t-s)^\alpha}ds$,
où $\alpha$ est une constante réelle positive.
J'ai pensé à utiliser la formule suivante,
$ \frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}f(t,s)ds= \int_{a(t)}^{b(t)}\frac{d}{dt}f(t,s)ds+b'(t)f(b(t),t)-a'(t)f(a(t),t)$
mais je suis tombé sur une erreur (la fonction n'est pas définie pour $ s=t$.
Comment compléter ce calcul?
Je dois calculer la dérivée par rapport à $t$ de la fonction
$ (t,s) \rightarrow \int_{0}^t \frac{f(s)}{(t-s)^\alpha}ds$,
où $\alpha$ est une constante réelle positive.
J'ai pensé à utiliser la formule suivante,
$ \frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}f(t,s)ds= \int_{a(t)}^{b(t)}\frac{d}{dt}f(t,s)ds+b'(t)f(b(t),t)-a'(t)f(a(t),t)$
mais je suis tombé sur une erreur (la fonction n'est pas définie pour $ s=t$.
Comment compléter ce calcul?
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Réponses
-
À quelle condition sur $\alpha$ :
1) l’intégrale est-elle convergente ?
2) la dérivée de l’intégrande par rapport à $t$ est-elle intégrable ? -
La fonction dont il est question est $t\mapsto\int_0^t\dfrac{f(s)}{(t-s)^\alpha}ds$ et tu aura besoin de savoir comment se comporte $f$ sur $[t-\varepsilon,t[$ avec $\varepsilon$ "petit" (en l'absence d'hypothèse de cette nature il est impossible de conclure) et aussi d'hypothèse sur la fonction $f$ (Est-elle intégrable et à quel sens sur quel domaine de définition?)
-
Est-ce qu’il y a d’autres hypothèses sur $ f$ ?
-
@etanche
$f$ est une fonction continue sur tout le domaine. -
Besma bissan
Le mot domaine a plusieurs acceptations suivant les auteurs. S'agit-il du domaine de définition de $f$ ? Si le domaine est le domaine de définition de $f$, est-il un ouvert ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
-
@Alain24 $f$ est defini sur un intervalle fermé borné $[0;T]$.
-
Tout dépend de la valeur de $\alpha$ et de $f$. $f$ s'annule-t-elle? La dérivée est-elle définie au sens des distributions? Comme coefficient directeur de la différentielle (i.e. limite du taux d'accroissement)?
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