Écart type : calcul de la nouvelle valeur de la série

Tu connais les 20 valeurs initiales. Disons plutôt les 19 valeurs initiales, parce qu'il y a une des valeurs qui ne nous intéresse pas.
Tu connais l'écart-type du groupe constitué de ces 19 valeurs, plus notre inconnue.
L'écart-type, c'est la racine carrée de la variance. C'est plus simple de travailler avec la variance. 
Ton équation à résoudre, c'est une équation du 2nd degré.

Il y a cette autre formule pour calculer la variance : $v = E(x^2)-(E(x))^2$ qui devrait plus facilement t'emmener à la solution.

Dans cette formule, $E(x^2)$, c'est $\frac{1}{20}\Sigma{x^2}$, c'est donc la somme de $19$ nombres connus, plus $z^2$ ($z$ est notre inconnue)
E(x), c'est $\frac{1}{20}\Sigma{x}$ , c'est la somme de $19$ nombres connus, plus notre inconnue $z$. On voit bien se dessiner une équation du 2nd degré.

Qui dit équation du 2nd degré dit généralement 2 solutions. Et effectivement si on part de 19 valeurs (19 fois la valeur 0 par exemple) et qu'on nous dit que l'écart-type est de 1, il y a 2 solutions opposées. 

PS : ta formule est moyennement bonne, tu as une somme sur $i$, et il n'y a aucun $i$ nulle part ailleurs.