Pourquoi l'intégrale de Henstock-Kurzweil est boudée dans l'enseignement ?
Tout est dans le titre.
Je vous laisse essayer de taper "Henstock Kurzweil filetype:pdf" sur votre moteur de recherche préféré. Voici ce que j'obtiens :
À peine plus de 8000 petits résultats.
À peine plus de 8000 petits résultats.
Essayer "intégrale de jauge filetype:pdf" retourne un peu plus de résultats mais ça ne casse pas trois pattes à un canard :
Du coup, je me demandais, selon vous, pourquoi cette dernière est boudée ? Notamment lors des deux premières années du supérieur (en particulier en L2) où elle serait quand même plutôt indiquée, notamment pour préparer doucement l'introduction de l'intégrale de Lebesgue en fin de licence.
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Réponses
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/1936108/lintegrale-de-kurzweil-henstock
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/916359/integrale-de-kurzweil-henstock
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/833912#Comment_833912
J'ai regardé le début de l'exposé de Demailly. J'en ai conclu que cet exposé répondait à la question: qu'est-ce que l'intégrale KZ? Alors que la question est: que gagnerait-on à commencer l'enseignement des intégrales par l'intégrale KZ ?
L'enseignement actuel de l'intégrale de Lebesgue est particulièrement intéressant de ce point de vue. On s'agite une semaine. Puis on oublie le tout et on admet en masse l'ensemble des propriétés utiles. Bilan: on a perdu une semaine. C'est la même chose avec les probabilité. On s'agite une semaine avec les Beaux Réliens. Puis on oublie le tout. Et on admet en masse l'ensemble des propriétés utiles. Bilan: on a encore perdu une semaine.
Faire un cours où l'on construit proprement et ab initio une intégrale s'appliquant aux fonctions numériques continues définies sur un segment n'est pas facile, mais reste faisable. Et surtout permet de mettre en place un tas de choses formatrices et réutilisables pour la suite.
Cordialement, Pierre.
Bonne journée.
Jean-Louis.
Tu crois vraiment qu'avec la génération actuelle passée par le collège actuel on peut correctement introduire "limites et continuité [...] en première, l’intégrale des fonctions continues par morceau [..] en terminale, l'intégrale de Riemann en SUP/L1 et enfin l'intégrale HK en SPÉ/L2" ? Alors qu'on en était incapable (sauf dans quelques lycées "pour l'élite") à l'époque du grand tri et des terminales C.
Cordialement.
Si c'est pour des visées applicatives (comme c'est le cas en dehors des filières mathématiques, y compris en prépa qui je le rappelle forme avant tout des ingénieurs), la situation actuelle (une version affaiblie de l'intégrale de Riemann pour les fonctions continues par morceaux) me semble entièrement suffisante.
Si c'est pour des matheux, pourquoi s'embêter à perdre du temps à faire la théorie HK puisque de toute façon Lebesgue est incontournable et devra être fait ?
1) Des gens qui ne feront plus jamais d'intégrales de leur vie. (L'immense majorité)
2) Des gens qui auront besoin de faire du calcul intégral poussé dans leurs futures études.
Aussi dingue que ça puisse paraitre, j'ai directement appris l'intégrale de Lebesgue en L1 et j'en fus fort satisfait. J'avais rapidement à ma disposition une batterie de théorèmes puissants pour résoudre de nombreux problèmes. Le prof avait simplement "admis" une liste minimale de résultats de théorie de la mesure, résultats qui furent démontrés dans un cours de L3 prévu à cet effet.
Je ne me souviens pas d'avoir enseigné l'intégrale de Riemann en Terminale C, seulement d'en avoir vu une forme dégradée suffisante pour avoir des intégrales de fonctions continues sur un intervalle fermé borné et de justifier l'existence des primitives de fonctions continues. C'est bien pour ça qu'elle était enseignée en post bac.
Souvent, la mesure de Lebesgue est construite avec la mesure extérieure (par les volumes des pavés). Dans tous les cas, la construction de la mesure de Lebesgue demande à un moment ou un autre de gros résultats de théorie de la mesure (Carathéodory ou Riesz).
La version "on prend 10 pages à démontrer le théorème de représentation de Riesz puis on construit l'intégrale de Lebesgue en 2 lignes comme extension de Riemann" est faite dans le Rudin. Le théorème de Riesz est bien pratique mais je ne suis pas sûr que ce soit le plus digeste pour des étudiants.
Pour l'idée de faire Riemann puis KH puis Lebesgue... C'est un peu une perte de temps selon moi. Surtout qu'on peut tout à fait faire le pont (de façon lisse) entre Riemann et Lebesgue sans passer par KH si on le souhaite.
Cela me semble être un problème très franco-français où le diplôme conditionne notre vie future : si tu n'en as pas ou que tu en as un qui ne vaut rien, alors ta vie future, du point de vue de la société française ne vaudra rien. On en est arrivé au stade où avec un bac, soit-il le bac scientifique ou le sacro-saint bac C, tu ne peux presque plus accéder à aucun métier de catégorie B dans la fonction publique : cette dernière te demande de justifier d'une spécialisation de l'enseignement supérieur… y compris pour des taches qui pourraient êtres réalisées par n'importe quel ado tout juste sorti du lycée…
Je suis d'accord que c'est un peu plus technique que le reste mais la preuve ne fait quand même qu'une seule page (je l'ai devant les yeux).
Le théorème de Riesz est réutilisable c'est certain. Mais ça ne veut pas dire que le théorème d'extension de Carathéodory et le concept de mesure extérieur ne le sont pas
Comme je l'ai dit les mesures de Hausdorff son généralement construites via les mesures extérieures et l'approche de Carathéodory. À ma connaissance elles ne peuvent se déduire du théorème de Riesz car ces mesures ne sont pas boréliennes et ne donnent donc pas une forme linéaire sur $C_c(X)$. Le concept de mesure extérieure aussi a son utilité, notamment dès que les questions de mesurabilités sont difficiles et qu'on peut se contenter de la sous-additivité.
Cordialement.
Jean-Louis.