La conjecture de Collatz
Titre iitial : "La conjecture de Collatz : exploration des suites par le biais de clusters et du réseau de séquences"
[Le titre doit être informatif mais court. Le corps du message est là pour les développements. AD]
Nous proposons une approche inédite pour résoudre la conjecture de Collatz. Pour rappel, la conjecture stipule que pour tout entier positif i, en appliquant la règle de Collatz (si i est pair, on divise par 2 ; sinon, on multiplie par 3 et on ajoute 1), la suite ainsi obtenue finit par atteindre 1. Dans notre approche, nous reformulons la conjecture comme suit : pour tout entier impair i > 1, la suite atteint toujours une puissance de 2 supérieure ou égale à 2^4.
1.
Le réseau de séquences uniques d'étapes
(RSUE)
Au lieu de l'arbre de Collatz classique, nous proposons d'utiliser un
réseau de séquences uniques d'étapes (RSUE) entièrement construit à partir de
2^4. L'algorithme pour construire le RSUE est simple : on part de 16, on double
cette valeur dans la colonne suivante de la même ligne, puis on cherche si 16 -
1 est divisible par 3. Si c'est le cas, on obtient 5, que l'on place en
deuxième ligne sous 32. Les colonnes correspondent donc à x = 4 pour la
première et x = 5 pour la deuxième. À chaque nouvelle colonne, on double toutes
les valeurs de la colonne précédente, puis on extrait tous les impairs possibles.
2.
Séquence unique d'étapes (SUE)
Le RSUE est donc un générateur de liste d’impairs, dont l’ordre
arithmétique semble aléatoire, et que l’on classe selon leur rang d’apparition,
que nous nommons SUE (séquence unique d'étapes). Chaque ligne SUE ne comprend qu’un
impair i, suivi de pairs de la forme i*2^n.
3.
Introduction du concept de cluster
Nous introduisons le concept de cluster, défini comme un ensemble
d'entiers impairs ayant les mêmes coordonnées {h, e, x}, où h représente la
valeur de log2(i) arrondie à l'entier le plus proche, e est le nombre d'étapes
impaires et x est le nombre total d'étapes (paires et impaires) jusqu'à 2^4
inclus, auquel on ajoute 3.
4.
Le RSUE en tant que générateur de
clusters
4.1.
La structure cachée derrière l'apparent
désordre
Par exemple, le RSUE 2^34 est composé de 1878 impairs répartis en 155
clusters pour des valeurs e de 1 à 11, des valeurs h de 2 à 30, et des valeurs
x de 5 à 34. Au premier abord, la liste des impairs dans le RSUE semble
désordonnée et aléatoire, comme le montre le début de la liste (5, 21, 3, 85,
13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909, 141,
151, 23, 1813, 277, 301, 45, 7, 21845, 3413, 3637, 565, 605, 93, 15.).
Cependant, cette apparente absence de structure cache en réalité une capacité
sous-jacente du RSUE à générer des clusters.
4.2.
Les clusters émergent du RSUE
En analysant plus en profondeur le RSUE, on peut observer que les
clusters émergent naturellement de cette structure. Prenons l'exemple du
cluster {12, 7, 30} qui se situe dans le RSUE 2^34 entre les rangs SUE 604 et
724.
Ce cluster comprend 19 impairs (3157, 3185, 3285, 3299, 3333, 3427, 3429,
3469, 3477, 3501, 3533, 3537, 3571, 3593, 3801, 3805, 3813, 3819, 3821).
Entre 3157, le plus petit impair du cluster, et 3821, le plus grand, le
RSUE 2^34 produit également d'autres clusters dans cet intervalle : le
cluster {12, 2, 17}, comprenant les impairs 3413 et 3637 aux rangs SUE 30 et
31 ; et le cluster {12, 4, 22}, comprenant les impairs 3221, 3213 et 3223
aux rangs SUE 98, 103 et 111. Il est important de noter que les impairs
manquants de cet intervalle entre 3157 et 3821 seront produits lorsque le RSUE
atteindra des valeurs de x et de e plus grandes (e = 87 et x = 237).
4.3.
Le rôle du RSUE dans la formation des
clusters
Le RSUE joue un rôle crucial dans la formation des clusters, car il
permet de regrouper les entiers impairs ayant à la fois une valeur proche et un
rang SUE proche. Cette capacité du RSUE à produire des clusters est masquée par
l'aspect aléatoire de la liste des impairs. En réalité, cette structure
apparemment désordonnée facilite la création des clusters en rassemblant des
entiers impairs présentant des similarités en termes de valeur et de rang SUE.
4.4.
L'importance des clusters dans l'analyse
des suites de Collatz
La découverte de cette propriété du RSUE renforce l'importance des
clusters dans l'analyse des suites de Collatz. En comprenant comment le RSUE
génère des clusters et en explorant systématiquement ces clusters pour chaque
valeur de h, il est possible de gagner en efficacité dans l'étude des suites de
Collatz et d'approfondir notre compréhension de la conjecture de Collatz.
En résumé, le RSUE, bien qu'apparemment désordonné, est en réalité un
générateur efficace de clusters, puisqu’il est capable de les produire dans un
nombre réduit de rangs SUE. Ce qui facilite grandement l'analyse des suites
de Collatz, et souligne l'importance de mieux comprendre cette structure.
5.
Le remplissage d’un intervalle h
5.1.
Exemple de remplissage d'un intervalle h
Pour illustrer le fonctionnement de notre approche, prenons l'exemple du
remplissage de l'intervalle h = 6 (47 ≤ i ≤ 89). Dans cet intervalle, il existe
16 clusters contenant de 1 à 2 impairs, où e varie de 1 à 42 et x de 9 à 115.
Le remplissage ne s’est donc pas fait au hasard mais en décomposant
l’intervalle en clusters.
5.2.
Un chantier permanent
Dans le RSUE 2^34, seuls les intervalles h 2, 3 et 4 sont remplis
complétement sur les 30 qu’il comprend. Le RSUE peut être considéré comme un
chantier permanent de remplissage d’intervalles h, où seule une petite
proportion d’intervalles est remplie face à une majorité en cours de
remplissage.
5.3.
Les clusters se regroupent par
intervalles h
Si le cluster est le regroupement d’impairs selon leurs valeurs h, e, et
x, on peut les classer par ensemble de même valeur h, de manière à montrer que
le remplissage d’un intervalle est complet quand le nombre nécessaire de ces
clusters est atteint.
6.
Le concept de voisinage
Le voisinage est un concept clé pour comprendre les clusters. Il est à
noter qu'il existe à la fois un voisinage des valeurs des entiers impairs et de
leurs rangs de séquences uniques d'étapes (SUE) autour des mêmes valeurs h, e
et x. Le voisinage est une propriété qui regroupe les impairs, puis augmente la
population des clusters plus rapidement que le nombre de clusters.
6.1.
Analogie avec la civilisation humaine
Une analogie intéressante pour comprendre le concept de voisinage est la
civilisation humaine. Les premiers humains se sont regroupés par zone pour
survivre collectivement, plutôt que de se disperser de manière solitaire. Au
fil de l'évolution, les campements sont devenus des villes, mais le nombre de
villes dans le monde a augmenté bien moins rapidement que la densité de la
population au sein de ces villes.
6.2.
Densité de la population par cluster en
fonction de h
De la même manière que le processus de peuplement humain, les clusters
ont tendance à s'agrandir en population plutôt que de se multiplier : plus
h est grand et plus le nombre d’impair par cluster grandit. Pour les valeurs h
de 2 à 12, le nombre de clusters par intervalle h est quasi linéaire : 2,
3, 5, 12, 16, 35, 46, 55, 70, 76, 90 ; alors que le nombre d’impairs par
cluster est exponentiel : 2, 3, 5, 12, 22, 46, 90, 181, 362, 724, 1448. La
densité moyenne en h=12 est de 16 impairs par cluster alors qu’elle de 1.3 en
h=6.
6.3.
Remplissage d’un intervalle h ou de
l’intervalle propre à un cluster.
L’intervalle h = 14 va de i = 11587 à i = 23169 et comprend 5792 impairs,
répartis en 119 clusters. Dans cet intervalle, le cluster {14, 47, 136} est
celui qui a le plus grand intervalle propre de 2274 impairs de 18597 à 23143, dont
98 impairs lui appartenant. Pour remplir tout l’intervalle du cluster {14, 47,
136}, il faut 31 autres clusters, soit environ le quart du nombre total pour
tout l’intervalle h.
Pour remplir totalement l’intervalle h=14, il suffirait de remplir
complétement les intervalles des clusters {14, 16, 55}, {14, 24, 76}, {14, 32,
97}, {14, 40, 118}, et {14, 26, 82}, soit seulement 5 clusters sur 119.
On peut donc dire que les clusters ont tendance à beaucoup se superposer
sur l’intervalle d’un seul cluster.
6.4.
Ordre des clusters et remplissage d’un
intervalle
Les clusters peuvent être numérotés en les classant dans l’ordre de la
valeur du plus petit impair qu’ils contiennent. On constate alors que l’intervalle
d’un cluster est rempli par une succession de clusters se suivant dans l’ordre.
Par exemple, l’intervalle du cluster n°520 {14, 16, 55} qui va de i = 11587 à i
= 12715 (565 impairs) est rempli par les 31 clusters des n° 520 à 550 (pour un total
de 978 impairs).
Les clusters nécessaires au remplissage de l’intervalle d’un seul cluster
restent dans une plage réduite dont les numéros de clusters suivent le numéro
de celui qu’il faut remplir. On peut trouver ici une explication assez simple à
l’effet de voisinage dans cette relation entre l’ordre arithmétique des impairs
et l’ordre de la numérotation de leurs clusters.
Par rapport à un jeu de 52 cartes, le procédé serait de d’abord bien les classer
par famille et valeur, de les battre par petits paquets de 5 ou 6 cartes, et
enfin de réassembler ces paquets sans les mélanger. De cette façon, on aurait un
désordre très localisé : par rapport à sa position initiale, une carte ne
peut pas être à plus de 5 ou 6 cartes de cette position. On peut considérer que
le très relatif désordre des numéros de clusters impliqués dans le remplissage
d’un seul cluster ressemble beaucoup à cette fausse façon de battre les cartes.
6.5.
L’effet de voisinage interdit les suites
divergentes
Le voisinage est le principe du modèle de peuplement de l’ensemble des
entiers impairs sous l’effet des clusters. C’est une propriété qui regroupe les
individus, puis augmente la taille des groupes plus vite que le nombre de
groupes. L’effet de voisinage est donc de plus en plus fort à mesure que h
grandit. Si on revient encore à la civilisation humaine, les premiers humains
n’occupaient des campements de dizaines ou petite centaine d’individus. Les
villes modernes en sont à des millions d’habitants. Il est donc plus probable
que les impairs très, très grands sont dans des clusters de type ‘’Delhi’’ ou
‘’Pékin’’ regroupant des quantités astronomiques d’individus. Ceci infirme
très fortement le fait qu’un entier très grand pourrait avoir une suite
divergente : plus les impairs sont grands, plus leur capacité de se regrouper
en cluster grandit.
6.6.
Le mécanisme de clusterisation
Sous l’effet du voisinage, le mécanisme de clusterisation est toujours
identique d’un intervalle h à l’autre. Pour remplir un intervalle, il faut
avoir suffisamment de valeurs e. Un cluster se définit comme la correspondance
de h et x pour une valeur e.
Le mécanisme de clusterisation de chaque intervalle h repose un ensemble
de clusters occupant chacun une subdivision d’intervalle bien précise que l’on
détermine avec le log2 de la moyenne des impairs de chaque cluster, noté
log2(μi). Comme vu plus haut, le nombre de subdivisions log2(μi) augmente bien
moins vite que le nombre d’impairs par intervalle h. Cela signifie que chaque
couple {e, x} dans un intervalle h trouve de plus en plus d’impairs à mesure
que h grandit ; ce qui signifie aussi que de plus en plus d’impairs sont
voisins d’une même valeur log2(μi) à mesure que h grandit.
6.7.
Grands nombres
À très, très grande échelle, un impair est probablement entouré d’une
myriade de voisins dans des clusters gigantesques. Un intervalle h comprenant
environ 10^30 impairs contiendrait probablement moins de 5000 clusters.
Cette approche de la conjecture de Collatz amène donc à penser l’inverse
de l’hypothèse que l’on pourrait éventuellement trouver un entier dont la suite
ne reviendrait pas vers 1 (ou vers une puissance de 2 dans notre définition)
bien au-delà des entiers dont on a pu vérifier les suites. Mais en fait, plus
un impair est grand, plus il a de voisins dans son cluster {h, e, x} : la force
de voisinage ou de clusterisation devient immense dans les très grandes valeurs
de h, et interdit toute possibilité d’y trouver un impair singulier non
clusterisable, qui ne reviendrait pas vers une puissance de 2, ou qui ne
pourrait être associé à aucune valeur e ou x.
7.
Perspectives
La méthode proposée permet de mieux comprendre la structure cachée
derrière les suites de Collatz, ainsi que les regroupements d'entiers impairs
en clusters. Cette approche met en évidence le rôle crucial du RSUE dans la
formation des clusters et montre que les clusters émergent naturellement de
cette structure.
En étudiant les clusters, l'approche montre que plus un entier est grand,
plus sa capacité à se regrouper en cluster grandit, et que la probabilité d'une
suite divergente diminue. Par conséquent, il semble peu probable de trouver
dans des très grands nombres un entier dont la suite ne reviendrait pas vers 1
(ou vers une puissance de 2 dans notre définition).
En conclusion, cette étude apporte des perspectives pour l'analyse de la
conjecture de Collatz. Cependant, il est important de souligner que, bien que
cette approche semble infirmer la possibilité de suites divergentes, elle ne
constitue pas une preuve formelle de la véracité de la conjecture.
Constituer
cette preuve reviendrait dans notre opinion démontrer que 1) le mécanisme de
clusterisation, grâce auquel n’importe quel intervalle h se décompose en
clusters et que ceux-ci se remplissent systématiquement lorsque le RSUE à
atteint la valeur 2^x nécessaire ; et 2) le remplissage de l’intervalle d’un seul
cluster se fait grâce à des clusters de même valeur h, et dont les numéros
suivent celui qu’il faut remplir, et ce dans une plage relativement réduite.
Réponses
On est dans le ressenti ou bien est-ce un travail mathématique, ici ?
« Plus les impairs sont grands, plus leur capacité … » : est-ce un théorème ou une conjecture ?
J'ose espérer que ce texte n'est pas de toi, mais que ce soit une réponse de ChatGPT à une série de questions. Cette hypothèse me rassurerait fortement sur ta santé, et serait la preuve d'un humour et d'un sens de l'auto-dérision assez bienvenus.
Bonne suite à toi.
Nous introduisons le concept de cluster
Ceci dit, l'accroche à propos d'une "approche inédite pour résoudre la conjecture de Collatz" est quelque peu mensongère, la preuve en est ce forum, qui contient déjà des dizaines et des dizaines de pages, et plusieurs milliers de messages (2.5K !!!) sur ces fameux "clusters".
Oui, la conjecture de Collatz révèle bien un comportement grégaire des impairs dans le sens que l'on peut les regrouper (clusters) selon leurs valeurs h, e , x où h représente la valeur de log2(i) arrondie à l'entier le plus proche, e est le nombre d'étapes impaires et x est le nombre total d'étapes (paires et impaires) jusqu'à 2^4 inclus, auquel on ajoute 3.
Un cluster est donc une solution commune pour un groupe d'impairs dont les valeurs sont proches (h) de revenir à 2^4 dans les mêmes valeurs x et e.
Au fur et à mesure que h grandit, la population des clusters augmente exponentiellement puisque le nombre de clusters par intervalle n'augmente lui que de manière linéaire. Donc l'effet de voisinage ou la collectivisation ou le grégarisme est de plus en plus grand
Est-ce si illogique de penser qu'il n'y a pas une solution individuelle de suite pour chaque entier, mais plutôt des groupes de suites ayant des propriétés identiques (e, x) et qui regroupent des impairs de valeurs proches, et que l'on retrouve aussi dans des positions proches dans le RSUE?
De fait le résumé de mon approche consiste à ne considérer que les valeurs {h, e, x} des impairs, ce qui permet d'avoir une autre vision sur ces suites.
Le texte publié contient pourtant de nombreux exemples. As-tu des demandes spécifiques d'exemples pour une partie particulière du texte?
C'est quand même un peu des mathématiques. Dans un intervalle h, qui représente la valeur de log2(i) arrondie à l'entier le plus proche, la population des entiers augmente de manière exponentielle. Or je constate que le nombre de clusters par intervalle augmente lui de manière linéaire. Donc la population des impairs par cluster augmente très vite. Alors on peut raisonnablement penser que "leur capacité à se regrouper en cluster grandit". L'intérêt de cette approche est d'aborder l'étude des suites par groupes (cluster) plutôt que de manière individuelle.
Tu devrais préciser qu'il s'agit d'une puissance paire de 2. Lorsqu'on pose $3\;n+1=2^u$, donc $n=(2^u-1)/3$, $n$ n'est entier que lorsque $u$ est pair. Seule une puissance paire de 2 possède un prédécesseur impair dans une suite de Collatz.
Lorsqu'une suite de Collatz passe par une puissance de 2 elle descend immédiatement vers 1. Donc si toute suite de Collatz se termine par 1, alors "toute suite atteint une puissance de 2 supérieure ou égale à 2^4" (en réalité à 2^2). Dans ce sens tu as raison : c'est une reformulation de la conjecture ... pour dire exactement la même chose.
Le fait de passer d'abord par une puissance de 2 n'est pas tout à fait la même chose que de revenir à 1, car dans ce cas pourquoi ne pas revenir à 1 sans passer par une valeur 2^x ?
De plus le RSUE permet de construire toutes les suites depuis les puissances de 2, puisque le premier SUE est celui des 2^x.
Ce que le RSUE montre c'est que tous les impairs sont dans une relation avec 2^x au travers de "connecteurs" qui sont les pairs de type i*2^n
je reste à ta disposition si tu veux des exemples précis.
Tu ne peux en aucun cas aboutir à 1 sans passer par une puissance de 2. Pour s'en convaincre il suffit de remonter d'une étape à partir de 1 et se demander quels sont ses prédécesseurs possibles, c'est-à-dire la liste des entiers impairs $n$ tels que
$\dfrac{3\;n+1}{2^u}=1$
Ces prédécesseurs sont $[1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, ...]$
Lorsque la suite de Collatz tombe sur l'un de ces nombres, l'étape suivante est une puissance de 2, suivie elle-même de $u$ divisions par 2 dont la dernière donne 1.
Pour "revenir à 1 sans passer par une valeur 2^x" il faudrait trouver un prédécesseur impair $n$ de 1 tel que $3\,n+1$ ne soit pas une puissance de 2. Ce nombre n'existe pas puisqu'il est impossible que 1 possède un prédécesseur impair qui ne conduise pas directement à lui à la prochaine étape impaire.
Voici un exemple pour un RSUE 2^14:
Mais la ligne qui soutient toute la construction du RSUE est bien la première, celle de 2^x
Si je pars de 11 en SUE 17 par exemple, le chemin vers 2^x est :
3*11+1 = 34 qui est dans la ligne SUE 9
34/2 = 17 qui est au début de la ligne SUE 9
3*17+1 = 52 qui dans la ligne SUE 5
52/4 = 13 qui est au début de la ligne SUE 5
3*13+1= 40 qui dans la ligne SUE 1
40/8 = 5 qui est au début de la ligne SUE 1
3*5+1 = 16 qui est au début de la ligne 2^x ou SUE 0
Si un impair i est dans un RSUE 2^x, toutes ses étapes paires et impaires sont dans le RSUE jusqu'à 2^x, et les successeurs de i sont toujours à un rang SUE inférieur. Il n'y a donc pas de ""montées" ou de "descentes" en terme de rang de SUE.
Pour revenir aux clusters {h, e, x}, celui de 11 est {3, 4, 14}. 11 est tout seul dans son cluster.
Pour calculer h = log2(11) = 3.459 , donc h = 3 en arrondissant à l'entier le plus proche
e, le nombre d'étapes impaires est 4. Les 4 étapes impaires sont 11- 17 - 13 - 5
pour x, 11 est situé dans la colonne 2^14, donc x = 14.
Il est aussi possible de définir un cluster à partir de la suite de Collatz :
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16
On compte les 4 étapes impaires, puis on ajoute 3 au nombre total d'étapes, ici 11+3=14.
Ce système est pratique quand on veut connaitre tous les clusters d'un intervalle h.
Par exemple pour h = 5 qui va de i = 23 à i = 45, les clusters sont :
@PMF,
Je te rappelle que tu as déjà rempli 60 pages de tableaux auxquels personne n'a jamais rien compris, ce qui peut s'expliquer par le fait que tu es incapable de te faire comprendre. Tu commets une erreur très répandue qui consiste à croire que parce qu'on comprend une chose, tout le monde va la comprendre sans plus d'explications, et qu'en répétant les mêmes choses ad nauseam ils finiront par crier eureka. Tu viens de passer plusieurs années le nez plongé dans tes tableaux, ce qui te donne un net avantage, en matière de compréhension, sur ceux qui débarquent dans ton univers abscons.
Je jette l'éponge, parce qu'il est clair que tout ceci ne mènera nulle part et que je perdrai mon temps.
Dans l'exemple du RSUE 2^14 que j'ai donné, il est évident que seules les colonnes ayant des exposants pairs correspondent à des 3i+1 = 2^x où i est situé dans la colonne 2^(x+1).
C'est le cas de :
5 situé en colonne 2^5 qui correspond à 16 en col 2^4
85 situé en colonne 2^9 qui correspond à 256 en col 2^8
341 situé en colonne 2^11 qui correspond à 1024 en col 2^10
1365 situé en colonne 2^13 qui correspond à 4096 en col 2^12
Allez, une dernière par pure charité : ton tableau ne signifie absolument rien aussi longtemps que tu n'indiques pas de quelle manière il est construit. Non pas avec les longues phrases incompréhensibles dont tu as le secret, mais avec un algorithme (en Python par exemple, ou en pseudo-code). D'ailleurs cet exercice te sera très utile.
Je rappelle ce qu'est un algorithme : "c'est une suite d'instructions finies et précises, permettant de résoudre un problème ou d'effectuer une tâche donnée. C'est une méthode qui permet de décrire de manière logique et structurée les étapes à suivre pour réaliser une opération, en vue de produire un résultat ou une solution."
Le texte que j'ai écrit est parfaitement compréhensible et rempli d'exemples. Il est structuré en parties numérotées et ne comportent aucun "tableau''. Le problème est qu'il faudrait d'abord lire ce texte, puis ensuite le critiquer.
Il y a deux concepts dans ma proposition : le RSUE et les clusters {h, e, x}. Que l'on peut résumer ainsi :
1) Tout impair i>1 trouve sa place dans le RSUE pour une certaine valeur 2^x
2) Tout impair trouve sa place dans un cluster {h, e, x}, où h, représente la valeur de log2(i) arrondie à l'entier le plus proche, e est le nombre d'étapes impaires et x est le nombre total d'étapes (paires et impaires) jusqu'à 2^4 inclus, auquel on ajoute 3. Dans un cluster, les valeurs impaires sont toujours proches, de même que leur rang SUE.
3) L'intérêt des clusters est de regrouper les impairs, même s'il existe des clusters ne contenant qu'un impair, ce qui est le cas entre autres quand e=1 pour i =5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845.
4) L'étude des suites de Collatz devient donc l'étude des clusters, et la question la plus simple à se poser est comment un intervalle entre deux impairs peut se remplir avec les clusters.
5) Un intervalle peut être une valeur h. Dans ce cas, on voit que tout intervalle h correspond à n couples {e,x}
6) L'intervalle peut aussi être celui entre les valeurs minimale et maximale des impairs d'un cluster. En prenant par exemple le cluster {14, 16, 55} va de i = 11587 à i = 12715, et comprend 20 impairs. Comme cet intervalle comprend au total 565 impairs, ceux-ci sont forcément dans d'autres clusters dont certains des éléments sont dans cet intervalle. (voir l'exemple plus bas)
7) Il est évident que montrer/démontrer complétement comment un intervalle se remplit, permettrait de déduire que tout intervalle se remplit de cette façon. Et le point important est qu'en allant vers les grands nombres, le nombre de clusters augmente beaucoup moins vite que la population d'impairs propre à un intervalle.
> Le réseau de séquences uniques d'étapes (RSUE)
Le réseau unique de séquences d'étapes (RUSÉ) serait plus rigolo.
Cordialement,
Rescassol
Sur la construction du RSUE, j'ai déjà indiqué dans mon texte la méthode : " on part de 16, on double cette valeur dans la colonne suivante de la même ligne, puis on cherche si 16 - 1 est divisible par 3. Si c'est le cas, on obtient 5, que l'on place en deuxième ligne sous 32. Les colonnes correspondent donc à x = 4 pour la première et x = 5 pour la deuxième. À chaque nouvelle colonne, on double toutes les valeurs de la colonne précédente, puis on extrait tous les impairs possibles.''
Ceci est codable de manière simple avec le langage que l'on voudra. Perso je le fais en VBA, mais il est évident que ce serait mieux en python.
La règle pour ce codage est ultra simple : toutes les données nécessaires pour générer une nouvelle colonne, sont dans la colonne précédente. Et il n'y a que 2 instructions 1) doubler toutes les valeurs existantes 2) extraire les impairs possibles des valeurs paires existantes en faisant i = (p-1)/3
Par exemple nous sommes en colonne x=12 et nous voulons passer en x=13
la colonne x=12 contient dans l'ordre : 4096, 640, 672, 96, 680, 104, 682, 106, 113, 17
Colonne x = 13 :
instruction 1) 8192, 1280, 1344, 192, 1360, 208, 1364, 212, 226, 34
instruction 2) 1365, 213, 227, 35
On comprend que le résultat de l'instruction 2 provient de (4096-1)/3, (640-1)/3, (682-1)/3 et (106-1)/3.
La colonne x= 13 est donc dans l'ordre : 8192, 1280, 1344, 192, 1360, 208, 1364, 212, 226, 34, 1365, 213, 227, 35
En suivant ce principe, la colonne x=14 est :
instruction 1) 16384, 2560, 2688, 384, 2720, 416, 2728, 424, 452, 68, 2730, 426, 454, 70,
instruction 2) 453, 69, 75, 11
Donc cet algo à 2 instructions est simplissime. Une application Python pourrait aller bien plus vite que le VBA.
Bravo tu as réussi a un anagramme de 4 lettres
@PMF : Bravo tu as réussi a un anagramme de 4 lettres
Une anagramme !! Et que signifie le "a" tout seul ?
Cordialement,
Rescassol
PS: Vu qu'il n'y a pas de mathématiques dans ce que tu racontes, il faut bien "disserter" sur autre chose.
La version de mars 2020
La version de juillet 2020
En résumé
Version 2020 : quelle surprise, les nombres qui passent par $n$ montées et $k$ descentes sont 'globalement proches les uns des autres', c'est vraiment un truc magique, et ça doit cacher la solution pour la preuve de la conjecture.
Version 2023 : les nombres qui passent par $n$ montées et $k$ descentes sont 'globalement proches les uns des autres', (sous-entendu: j'ai enfin compris une toute petite partie des explications qu'on m'a données il y a 3 ans) et ce constat est sûrement une piste pour résoudre la conjecture.
Je te remercie de ce digest de mes oeuvres et de ton honneté intellectuelle qui n'est plus à démontrer.
Pour ton information, voici 2 représentations graphiques du RSUE 2^34, comprenant 1878 impairs répartis en 155 clusters.
Dans la figure 1, nous avons en abscisse le rang de SUE et en ordonnée la valeur des impairs. L'alignement diagonal en bleu clair correspond à e = 4 (les clusters ayant 4 étapes impaires), l'alignement horizontal en orange correspond à des valeurs i telles que log2(i) = 5 (arrondi à l'entier le plus proche), et enfin les points surlignés en vert correspondent au cluster {15, 4, 25}
La figure 2 reprend le même RSUE 2^34 mais avec x en en abscisse et h en ordonnée ( h= log2(i) arrondi à l'entier le plus proche). Le même code couleur est utilisé que dans la figure 1. Les alignement diagonaux en allant de gauche à droite correspondent aux valeurs de e. En vert, le cluster {15, 4, 25} est donc bien au croisement de h = 15, e = 4 et x= 25
Avec des yeux pour voir, il semble évident que la population des impairs est regroupée dans des clusters qui sont à l'intersection de x, e et h.
On peut évidemment calculer des RSUE aussi grands que l'on veut, qui auront toujours la même structure de clusters.
L'hypothèse est que tout impair>1 trouve sa place dans le RSUE dans un cluster {h, e, x}. Pour remplir un intervalle h quelconque, il suffit d'attendre que tous les clusters de cet intervalle se soient formés, ce qui est le cas ici pour h = 2, 3 et 4.
L'intervalle h = 5 sera rempli avec un RSUE 2^111.
L'intervalle h = 6 sera rempli avec un RSUE 2^115.
[C'est très bizarre, je pensais avoir posté ce qui suit. J'ai dû oublier de cliquer sur "Publier la réponse"...]
@PMF,
Le tableau que voici est équivalent à celui que tu as posté ci-dessus. L'unique différence entre eux est leur orientation :
Pour reprendre ton exemple, on part de 11 pour aller vers 1 en passant par 16 : F1 > I2 > I1 > G3 > G1 > C4 > C1 > A5 > A1
Le tout sans calculer le moindre RSUE.
Chaque cellule de la rangée 1 de ce tableau contient un nombre impair, et la colonne au-dessus de lui contient ses multiples pairs. Lorsqu'on prend un nombre impair $n$ et qu'on lui applique la règle "si impair faire $3\,n+1$", on obtient un nombre pair qui se trouve quelque part dans une colonne. En lui appliquant la règle "si pair faire $n/2$" on finit invariablement par retomber sur un nombre impair, qui est le successeur impair du nombre $n$ initial.
Il n'existe aucun nombre impair qui ne figure dans la rangée 1 de ce tableau. De même, il n'existe aucun multiple pair d'un nombre impair qui ne figure dans une colonne du même tableau. Il est donc inévitable que l'application des deux règles ait pour résultat cette partie de volley-ball à laquelle se livrent les nombres du tableau. La question à laquelle personne n'a encore su répondre est de savoir pourquoi le ballon finit toujours par atterrir sur la case 1.
J'attends le revers de main qui va balayer tout ça...
Pour clore définitivement ce fil, je fais une dernière présentation de mon approche de la suite de Collatz.
1) La méthode consiste à créer une liste d'impairs en partant de 2^4 à l'aide de 2 instructions simples 1 : doubler toutes les valeurs précédentes, 2: trouver dans les valeurs paires (p) précédentes les impairs i tel que i=(p-1)/3.
Ce qui donne en partant de 2^14 et en calculant jusqu'à 2^11 :
16
32, 5
64, 10
128, 20, 21, 3
256, 40, 42, 6
512, 80, 84, 12, 85, 13
1024, 160, 168, 24, 170, 26
2048, 320, 336, 48, 340, 52, 341, 53
De ces lignes, on extrait une liste d'impairs dans leur ordre d'apparition (ci-dessous pour un calcul jusqu'à 2^17) :
5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909, 141, 151, 23, 1813, 277, 301, 45, 7, 21845, 3413, 3637, 565, 605, 93, 15....
Cette liste est intéressante : n'importe quel impair de la liste trouve toutes les étapes impaires de sa suite de Collatz en les cherchant dans les positions précédentes. Exemple pour 15 : 23, 35, 53, 5
2) La liste des impairs contient deux autres informations : les impairs se regroupent selon le nombre d'étapes impaires de leur suite de Collatz, leur valeur et leur rang d'apparition.
Pour s’en rendre compte, et sans faire aucune transformation des données, il suffit d'afficher cette liste en nuage de points et de mettre les deux échelles en mode logarithmique. On voit alors une suite d'alignements diagonaux qui correspondent chacun à des impairs ayant le même nombre d’étapes impaires. Ces alignements sont composés d’impairs formant des courts tirets sur le graphique, ce qui atteste qu’ils ont en commun un rang d’apparition et une valeur qui sont très proches. Ces tirets sont les clusters.
Il est aussi possible d’afficher cette liste en regard de la valeur de l’exposant x. En effet, chaque impair correspond à valeur 2^x, par exemple 5 avec 2^5, ou 113 et 17 avec 2^12. En utilisant une échelle logarithmique pour les impairs, le graphique présente les mêmes alignements diagonaux, mais les clusters deviennent des très courts tirets verticaux.
De ce fait, chaque cluster est bien un ensemble d’impairs de valeurs très proches, et ayant le même nombre d’étapes impaires € et le même nombre total d’étapes paires et impaires (x).
3) Si on considère un intervalle quelconque d’impairs, celui sera entièrement rempli par les impairs provenant de n clusters dès que sera atteint la valeur 2^x suffisante. On voit très bien sur le graphique qu’au fur et à mesure que se forment les alignements diagonaux, les alignements horizontaux se prolongent de nouveaux clusters. Il suffit alors de décider une unité d’intervalle comme h = log2(i) arrondi à l’entier le plus proche. Dans ce cas, chaque cluster est défini par ses coordonnées {h, e, x}.
La liste d’impairs est infinie, de même que les variables h, e et x. La force de ‘’voisinage’’ fait que dès qu’un cluster se forme, il est très vite rempli de tous ses éléments à cause de la proximité des rangs d’apparition et de valeurs des impairs. Donc le remplissage complet d’un intervalle h consiste à trouver tous les couples {e, x} lui correspondant, et pour cela il suffit de calculer la liste des impairs jusqu’à la bonne valeur de x. L’ensemble des entiers impairs > 1 est donc ainsi ‘’remplissable’’ intervalle par intervalle par les clusters quand 2^x tend vers l’infini.
Voilà la façon la plus simple d’expliquer cette approche. Tout ce qui est dit est vérifiable rapidement sur n’importe quel logiciel, que ce soit Excel ou Python.
Merci bcp pour cette réponse que je garde précieusement !
Dans ce qui est pour moi intéressant et nouveau :
1) Le nombre de clusters par intervalle h = log2(i) augmente linéairement quand le nombre d'impairs de l'intervalle augmente bien sûr de manière exponentielle. Cela veut dire que la population de chaque cluster devient de plus en plus grande. De cette façon, la clustérisation (ou effet de voisinage) devient de plus en plus forte, et dans les grands nombres, on pourrait trouver des clusters avec des millions ou des milliards d'éléments. J'en conclus certes hativement que trouver un impair qui déciderait de ne pas revenir à une puissance de 2 au milieu de ces clusters géants devient plus qu'improbable.
2) la question principale devient : si on a le mécanisme de remplissage d'un intervalle que l'on explique par la manière de fabriquer cette liste d'impairs qui génère la formation des clusters, et que tes formules valident parfaitement, pourquoi par simple récurrence, tout intervalle ne se remplit pas ainsi ???
Au bout de 500 messages, PMF a remplacé son échelle linéaire par une échelle logarithmique. Les courbes sont devenues des droites. Je pense même qu'on a déjà vu ces droites, vu le nombre de fois où on lui a expliqué tout ça.
500 messages c'est effectivement beaucoup trop, mais si on prend ce présent fil de discussion, les interventions à part être sarcastiques n’ont rien amené. Jusqu’au message de @Collag3n.
Où x est à la fois la puissance de 2 qui correspond à une position dans la liste des impairs ( par exemple pour 2^12, on a les impairs 113 et 17) et au nombre total d’étapes paires et impaires auquel on ajoute 3. Où e est le nombre d’étapes impaires, et h l’arrondi de log2(i).
Par exemple la liste jusqu’à 2^16 : 5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909, 141, 151, 23, 1813, 277, 301, 45, 7
Correspond aux couples {e, x} : {1, 5}, {1, 7}, {2, 7}, {1, 9}, {2, 9}, {1, 11}, {2, 11}, {2, 12}, {3, 12}, {1, 13}, {2, 13}, {2, 13}, {3, 13}, {2, 14}, {3, 14}, {3, 14}, {4, 14}, {1, 15}, {2, 15}, {2, 15}, {3, 15}, {3, 15}, {4, 15}, {2, 16}, {3, 16}, {3, 16}, {4, 16}, {5, 16}
Et aux valeurs de h : 2, 4, 2, 6, 4, 8, 6, 7, 4, 10, 8, 8, 5, 9, 6, 6, 3, 12, 10, 10, 7, 7, 5, 11, 8, 8, 5, 3
Valeurs de h qui correspondent à : $\log_2i\sim x-e\cdot\log_26$
@PMF,
Ton approche de Collatz est celle d'un analyste de données : tu collectes celles-ci, les traite, les interprète, trouves des relations entre elles, et finis par en créer une représentation qui selon toi serait la clé du problème. Mais ce n'est pas ainsi que tu démontreras la conjecture de Collatz. Les astrophysiciens ont le même problème : ils accumulent des données sur l'univers depuis plusieurs générations, mais sont toujours incapables d'expliquer son origine (sauf à ceux qui croient déjà au big bang).
Il existe pourtant une structure extrêmement utile au sein de ces suites. Si utile qu'elle permet de calculer le premier terme d'une suite dont la longueur et le nombre de termes impairs est donné. Oui, j'ai bien dit calculer, pas chercher dans un tableau !
Soit n0, le premier terme impair d'une suite compressée (si n impair faire (3n+1)/2). Cette structure est celle de l'ensemble des plus petites valeurs de n0 telles que leur suite est de longueur minimale pour un nombre donné de termes impairs. Par exemple, la suite la plus courte comptant 7 termes impairs est celle de 9 ; ou encore, la suite la plus courte comptant 18 termes impairs est celle de 219. Le problème est que je ne suis jamais parvenu à calculer ces valeurs minimales de n0, ce qui m'a obligé à construire une base de données (je crois qu'on en a déjà parlé dans un autre fil) au moyen d'une recherche exhaustive. Puisque tu possèdes les compétences pour ce genre d'activité, il serait intéressant que tu te penches sur la question.
A titre d'exemple de ce qu'on peut faire une fois qu'on est en possession de ces données, voici une fonction Python qui permet de calculer – comme je viens de le dire – le premier terme d'une suite dont la longueur et le nombre de termes impairs est donné. Quelques explications tout d'abord :
Les suites standard ne possédant pas les propriétés requises, les suites étudiées sont compressées.
Le type T d'une suite représente le nombre de termes impairs qu'elle contient, à l'exclusion du premier (n0) et du dernier (1). Par exemple, la suite 23, 35, 53, 80, 40, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 est de type 3 puisqu'elle contient les termes impairs intermédiaires 35, 53, 5. Le nombre total de termes impairs est donc T + 2. Il est en effet inutile de prendre en compte les premier et dernier termes puisque toutes les suites en possèdent ; et ça permet de disposer d'un type 0 : dans la suite 21, 32, 16, 8, 4, 2, 1, qui ne compte aucun terme impair intermédiaire, T = 0.
Bien qu'on ne s'intérresse pas aux suites standard, on peut néanmoins calculer la longueur d'une telle suite si les paramètres L (longueur) et T de sa version compressée sont connus. Une suite standard comprend en effet un terme pair de plus après chaque terme impair, puisqu'on aura calculé 3n+1 au lieu de (3n+1)/2. Par conséquent, la longueur de la suite standard est L' = L + T + 1 (le +1 concerne le terme pair supplémentaire après n0).
La fonction Python :
# Extrait de la base de données. 30 premières valeurs de T sur un total de 427 # Format : {T: [plus petit n0, longueur de sa suite]} n0tmin = {2: [17, 10], 3: [11, 11], 4: [7, 12], 5: [9, 14], 6: [25, 17], 7: [33, 19], 8: [43, 21], 9: [57, 23], 10: [39, 24], 11: [105, 27], 12: [135, 29], 13: [185, 31], 14: [123, 32], 15: [169, 34], 16: [219, 36], 17: [159, 37], 18: [379, 40], 19: [283, 41], 20: [377, 43], 21: [251, 44], 22: [167, 45], 23: [111, 46], 24: [297, 49], 25: [395, 51], 26: [263, 52], 27: [175, 53], 28: [233, 55], 29: [155, 56], 30: [103, 57], 31: [137, 59]} T_max = 30 # Renvoie un n0 dont la suite compressée est de type T et de longueur L (illimitée) # Paramètres : T, L # Si L est omis, renvoie sa plus petite valeur en fonction de celle de T def typL2n0(T, L=0): if T > T_max: print(f"T max : {T_max}") return a, lg = n0tmin[T] if L < lg or L == 0: print(f"L min : {lg}") return else: n = L - lg + 1 print((2**n * 3 * (2 * a + 1) + (-2)**n - 4) // 12) typL2n0(5,25)Important : pour une suite compressée de longueur L donnée, plus T est grand et plus n0 est petit. C'est la raison pour laquelle il serait particulièrement utile de pouvoir remplacer la base de données par une méthode de calcul des valeurs qu'elle contient. Au lieu de se retrouver avec des n0 gigantesques faute de valeurs suffisamment grandes de T (la limite est aujourd'hui de 427), on pourrait manipuler des suites très longues en augmentant T à volonté.
Ce phénomène d'accroissement de n0 lorsque T est constant tandis que L augmente, peut facilement se vérifier puisqu'il n'y a pas de limite à ce paramètre. Je doute que tes tableaux t'aient permis de faire ce constat, d'où l'avantage de disposer d'une méthode de calcul plutôt que de tableaux et de graphiques.
Autres méthodes de calcul (sans donner l'algorithme) basées sur la même structure :
Liste exhaustive des n0 dont la suite compressée est de longueur 19 (obtenue en 0,1 s). Dans la colonne de gauche figure le type :
Renvoyer le nombre indiqué en paramètre (illimité) de valeurs de n0 de type T dont la suite compressée est de longueur croissante. Exemple : on cherche 20 n0 dont la suite compressée est de type 8 et dont la longueur est croissante :
[43, 87, 173, 349, 693, 1397, 2773, 5589, 11093, 22357, 44373, 89429, 177493, 357717, 709973, 1430869, 2839893, 5723477, 11359573, 22893909]
La longueur de la suite de 43 est 21 (minimum), celle de la suite de 87 est 22, etc. Toutes sont bien sûr de type 8.
Renvoyer des valeurs de n0 de type décroissant dont la suite compressée est de longueur L donnée. Exemple avec L = 30 :
[271, 845, 2517, 7381, 22357, 68949, 210261, 611669, 1922389, 6116693, 18175317, 55924053]
271 est de type 12, 845 de type 11, ..., 55924053 de type 1.
Renvoyer la ou les plus grandes valeurs de n0 dont la suite compressée est de longueur L donnée. Exemple avec L = 29 :
[29709653, 29824341, 29826133, 29826161, 89478485]
Toutes sont bien entendu de type 1, ou 0 si L est impair. La suite de 89478485 est bien de type 0 (elle ne compte que des termes pairs) :
89478485, 134217728, 67108864, 33554432, 16777216, 8388608, 4194304, 2097152, 1048576, 524288, 262144, 131072, 65536, 32768, 16384, 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Il n'existe aucune suite compressée de longueur 29 dont le terme initial serait supérieur à 89478485.
On peut calculer encore beaucoup de choses, mais je vais arrêter là. Si tu trouvais le moyen de calculer les éléments de la base de donnée, ce serait un résultat extraordinaire. Je le répète : il s'agit de trouver le plus petit n0 dont la suite compressée est la plus courte pour un type T donné. Le format serait celui que j'ai indiqué plus haut : {T: [plus petit n0, plus petite longueur]}, ce qu'on appelle un dictionnaire en Python.
Je n'ai aucune idée de ce à quoi ressemble la structure dont j'ai parlé plus haut, et dont je viens de donner la preuve de l'existence.
1) On peut déjà associer les types à des clusters.
Pas un de plus, pas un de moins.
Tu as donc l'équivalence pour tes types de 0 à 9 de e incrémenté de 1 à 8 et de x de 19 à 26.
Tous les impairs qui sont en e = 1 (ton type 0) sont dans la limite de ma liste 2^34:
ils correspondent à des valeurs x impaires incrémentées de 2 à partir de 5 : 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33
Ce qui vérifie : $\log_2i\sim x-\log_26$
2) on cherche 20 n0 dont la suite compressée est de type 8 et dont la longueur est croissante
Cela revient à chercher tous les clusters en e = 9
par exemples les impairs : 43, 89, 87, 173, 177, 179, 357, 349, 355, 385, 423, 693, 709, 717, 705, 769, 729, 761, 777, 771, 847, 1429, 1397, 1421, 1393, 1411, 1415, 1541, 1693, 1457, 1569, 1697, 1689, 1465, 1481, 1539, 1459, 1523, 1555, 1547
dont les x sont : 29, 30, 30, 31, 31, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 33, 33, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34
Tous ceux qui ont le même x sont dans le même cluster. On voit que l'on a ici incrémenté x de 29 à 34 pour e = 9
La suite un peu plus tard
J'ai bien lu votre analyse sur Collatz..
Moi j'ai une manière pour cette démonstration et ce qui me manque c'est simplement la reconnaissance d'un nombre de Collatz sinon je peux faire un nombre de Collatz (ici je veux dire que de façon plus grande je peux former un nombre et dire que ça vérifie Collatz mais de façon réciproque je ne peux pas).
Et ceci me permet moi de ne pas être d'accord avec vous pour la divergence...
Renvoyer des valeurs de n0 de type décroissant dont la suite compressée est de longueur L donnée. Exemple avec L = 30
Ta liste à partir de 271 correspond à des e de 13 à 1, et dont les x décroissent de 42 à 31
Donc on a x = e+29
Je peux te proposer cette liste qui correspond à x = e+29 pour h<=12
Cluster {8, 13, 42}
Cluster {10, 12, 41}
Cluster {11, 11, 40}
Cluster {12, 11, 40}
suite de la liste qui correspond à x = e+29 pour h<=14
Cluster {13, 10, 39}
Cluster {14, 9, 38}
La seule chose qui me préoccupe est de remplacer la base de données par le calcul de ses éléments, peu importe à quoi ce calcul ressemblera. Ce que j'attends avec impatience est donc que tu m'expliques comment obtenir la suite, c'est-à-dire {..., 32: [a, b], 33: [c, d], 34: [e, f], ...}. Bon, je la connais déjà, bien sûr (jusqu'à 427), ce qui me permettra de savoir si ta méthode de calcul est valable ou non. :-)