Fonctions niveau terminale samedi 18 mars

Bonjour
Presque :

Cordialement,
Rescassol

Bonsoir,
J’ajoute que les exercices à géométrie variable ne sont pas ma tasse de thé.

@etanche : Soit $\alpha,\beta,\gamma$ les abscisses de $A,B,C$.
On a $f(\ln\alpha)=\alpha-\ln\alpha=g(\alpha)=f(\alpha)$ donc $\beta=\ln\alpha$.
De plus, $g(e^{\alpha})=e^{\alpha}-\alpha=f(\alpha)=g(\alpha)$ donc $\gamma=e^{\alpha}$.
Ainsi, $\beta+\gamma=\ln\alpha+e^{\alpha}=2\alpha$ donc $A$ est le milieu de $[BC]$ !

@etanche : C'est pas bien de modifier tous tes messages au gré des réponses des uns et des autres.
Quant à Rescassol, il a obtenu son résultat par approximations successives de fonctions transcendantes donc, quand j'ai vu son "presque", j'étais assez persuadé que $A$ était le milieu de $[BC]$.

@gebrane : D’après le TVI, l’équation $f(x)=f(\alpha)$ a au plus deux solutions et tout le monde sait que $\ln\alpha<\alpha$.

Bonsoir
la démonstration algébrique de gai requin est bonne : il n'y a rien à redire
on peut encadrer $\alpha$ assez précisément : $0,52744... < \alpha < 0,52745...$ 
on en déduit $e^{\alpha} = 1,69459...$ et aussi $ln(\alpha) = - 0,63 972...$
et on peut vérifier numériquement la relation démontrée par gai requin
quant aux aires dont on peut conjecturer l'égalité 
la vérification numérique préjuge en effet l'égalité soit 0,129589... pour chacune
mais ce n'est pas une démonstration que l'on obtiendrait avec la méthode de gai requin 
notre ami Rescassol trouve une différence entre les distances BA et AC
en fait geogebra comme la calculatrice TI Premium donnent des résultats approximatifs
Cordialement.

Etanche. Pour te faire pardonner,  donne nous une autre preuve  

Bonsoir,

Ce serait plutôt  à Géogébra de se faire pardonner  ...........

Cordialement,
Rescassol

Je suis étonné  par ce résultat sur l'égalité des aires. Bravo GR.

On peut s'en tirer avec GeoGebra mais c'est un peu laborieux. Il faut utiliser le calcul formel et la méthode de Newton.
Soit la fonction $h(x)=e^x + ln(x)-2x$. La commande Numérique(a, 30) essaie de déterminer 30 chiffres significatifs du nombre a.. On calcule d'abord $k(x)=x-h'(x)/h(x)$ puis on entre : Numérique(Itération(k(x), x, 1, 5), 30) (1 est la valeur initiale, 5 le nombre d'itérations, 30 le nombre de chiffres significatifs). Vu la vitesse de convergence de la méthode (quadratique), 5 itérations suffisent pour avoir 25 chiffres après la virgule corrects (les suivants sont faux). Ici 4 itérations ne donne pas une précision suffisante, et 6 fait planter le logiciel.
On répète la manip pour avoir les abscisses de $B$ et $C$, points qu'on place alors dans la fenêtre graphique à partir de leurs coordonnées déterminées par le calcul formel. On aura alors $AB=AC$ pour GGB. 

Bonsoir

Pour répondre à notre ami etanche il n'existe aucune symétrie
ni axiale ni ponctuelle des deux courbes C(f) et C(g) en effet
C(g) admet une asymptote verticale x = 0 alors que C(f) n'admet aucune asymptote verticale

on peut déterminer l'abscisse a du point A au milliardième, 
a étant la limite de la suite croissante $u_{n+1} = ln(2u_n - ln(u_n))$ avec $u_0 = 0,52744$
soit $a = 0,527447268$ et on en déduit l'ordonnée de A soit $b = e^a - a = 1,167153653...$

on peut trouver par calcul intégral I l'aire déterminée par C(f)
avec la droite horizontale passant par A entre les points B et A, on obtient
$I = \int_lna^a[b - e^x - x]dx = \frac{(e^a - a)(e^a + a - 2)}{2}$
on trouve numériquement 0,1295821775...u.a.

de même l'aire J déterminée par C(g) avec la même droite horizontale
entre les points A et C est trouvée par calcul intégral soit 
$J = \int_a^{e^a}[b - x + lnx]dx = \frac{(e^a - a)(e^a + a - 2)}{2}$

les deux aires I et J sont égales alors que les longueurs des arcs des courbes C(f) et C(g)
calculées respectivement entre B et A puis entre A et C sont distinctes
la première fait 1,2288189...u.l et la seconde 1,2319922...u.l.
ce qui confirme ce que l'on savait déjà, que les deux courbes n'admettent pas de symétrie axiale 

quant à la dernière égalité d'aires proposée par etanche elle mérite d'être démontrée algébriquement
numériquement elle est vérifiée avec 9 chiffres significatifs soit $1,30476828...$

Cordialement