Une suite convergente et sa limite forment une partie fermée
Bonjour
Un résultat classique est le suivant.
Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite convergente d'un espace métrique $(X,d)$. En notant $l$ sa limite, $F:=\{x_n\mid n\in\N\}\cup\{l\}$ est alors une partie fermée de $X$.
Je n'aime pas trop ma rédaction de cette preuve. Comment montreriez-vous ce résultat ?
De mon côté je montre que $X\setminus F$ est voisinage de chacun de ses points en prenant pour $a\in X\setminus F$, un rayon suffisamment petit (plusieurs itérations fastidieuses de $\min$...).
Dans mon souvenir ça n'était pas un résultat si chiant à montrer pourtant.
Un résultat classique est le suivant.
Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite convergente d'un espace métrique $(X,d)$. En notant $l$ sa limite, $F:=\{x_n\mid n\in\N\}\cup\{l\}$ est alors une partie fermée de $X$.
Je n'aime pas trop ma rédaction de cette preuve. Comment montreriez-vous ce résultat ?
De mon côté je montre que $X\setminus F$ est voisinage de chacun de ses points en prenant pour $a\in X\setminus F$, un rayon suffisamment petit (plusieurs itérations fastidieuses de $\min$...).
Dans mon souvenir ça n'était pas un résultat si chiant à montrer pourtant.
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Réponses
Je note $x_\infty =l$. Alors $\overline{\Bbb N} :=\Bbb N\cup\{\infty \} $ est un compact (pour la topologie de l'ordre), $f:n\in\overline{\Bbb N}\mapsto x_n$ est continue, et l'image d'un compact par une fonction continue est compact donc en particulier fermée. Ou bien si on n'aime pas $\overline{\Bbb N}$, on peut le remplacer par $K:=\{\frac1{n+1}\mid n\in\Bbb N\} \cup\{0\}$ et remplacer $f$ par $g:\frac1{n+1}\mapsto x_n, 0\mapsto l$, et le même raisonnement tient.
Edit : eh bien, petite forme ce matin. Shame!
Je regarde le point de Calli, ça a l'air marrant.
Sinon, on se donne $a$ un point adhérent à $F$. On distingue deux cas. Ou bien $a$ possède un voisinage qui ne contient qu'un nombre fini de termes de la suite (et dans ce cas on vérifie que $a$ est un $x_k$), ou bien tout voisinage de $a$ contient une infinité de termes de la suite. Cela signifie que $a$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x_k)$ donc $a=\ell$. Ainsi, on établit que $F = \overline{F}$.
Au cas où, quand je dis que $V$ contient une infinité de termes, ça veut dire que l'ensemble $\{k \in \mathbb N : x_k \in V\}$ est infini.