Question sur la preuve d'un lemme pour démontrer le théorème de Ceva (barycentres)
Bonjour,
sur l'image ci-dessous, l'auteur (M. Kieffer) démontre le lemme 248 qui servira pour démontrer le théorème de Ceva par la suite.
sur l'image ci-dessous, l'auteur (M. Kieffer) démontre le lemme 248 qui servira pour démontrer le théorème de Ceva par la suite.
C'est une leçon d'agrégation interne qui m'intéresse, j'ai compris la quasi-totalité des démonstrations sur le barycentre.
Seulement, la preuve du premier sens du lemme me dérange, je ne comprends pas pourquoi "par associativité du barycentre, on a: $D=bar\{(B;\beta) ; (C,\gamma)\}$" . Dans cette preuve du sens direct, à aucun moment nous savons que $\beta'=\beta+\gamma$, je ne vois pas donc comment l'auteur peut conclure aussi facilement avec seulement un argument d'associativité. Alors que le reste est très clair en plus !
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Réponses
Ainsi, $D=bar\{(B,\beta);(C,\gamma)\}$ . (Wouhou !!! ^^')
S'il s'agit de démontrer Ceva, il y a plus simple.
On suppose que les droites $(AA'),(BB'),(CC')$ sont concourantes en un point M.
Alors il exite trois réels $x,y,z$ tels que:
$M=bar\{(A,x),(B,1),(C,\alpha)\}=bar\{(A,\beta),(B,y),(C,1)\}=bar\{(A,1),(B,\gamma),(C,z)\}$
Comme les trois systèmes de coefficients sont proportionnels, on a:
$y=\beta\gamma$ et $ \alpha y=1$ d'où $\alpha\beta\gamma=1$.
Rescassol
D'où $\overrightarrow{DB}=-\frac{\gamma}{\beta}\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow B-D=-\frac{\gamma}{\beta}(C-D)\Leftrightarrow \ldots\Leftrightarrow D=(AM)\cap (BC)$.