$\Bbb N$ peut-il être indénombrable ?
Bonjour,
En admettant que ZF est cohérente, existe-t-il un modèle de ZF dont le $\Bbb N$ est intuitivement indénombrable, i.e. il ne peut pas être énuméré à l'aide des entiers naturels intuitifs ? Ou bien une variante de cette question : existe-t-il deux modèles $(M,\in_M)$ et $(N,\in_N)$ de ZF tels que $M\subset N$ et le $\Bbb N$ de $M$ est indénombrable dans $N$ ?
Merci d'avance
En admettant que ZF est cohérente, existe-t-il un modèle de ZF dont le $\Bbb N$ est intuitivement indénombrable, i.e. il ne peut pas être énuméré à l'aide des entiers naturels intuitifs ? Ou bien une variante de cette question : existe-t-il deux modèles $(M,\in_M)$ et $(N,\in_N)$ de ZF tels que $M\subset N$ et le $\Bbb N$ de $M$ est indénombrable dans $N$ ?
Merci d'avance
Réponses
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La réponse est oui.Si ZF est cohérente alors ZFC est cohérente (ouvrant la porte à des manipulations d'ultrafiltres). Et si ZFC est cohérente et $M$ est une nouvelle lettre alors "ZFC+T" est cohérente où T est la famille de tous les énoncés de ZFC restreints à M (cf les passages introductifs au forcing via le principe de réflexion, par exemple dans le livre de théorie de ensembles de Krivine. $M$ peut être choisi transitif et dénombrable (!!!). Lorsqu'il est transitif le $\N$ de $M$ est le même que celui de l'univers ambiant).Soit $I$ un ensemble et $U$ un ultrafiltre non principal sur $I$. On considère sur $M^I$ les relations $a \in_U b:= \{i\in I \mid a(i)= b(i)\} \in U$ et $a \in_U b:= \{i\in I \mid a(i)\in b(i)\} \in U$. Alors $=_U$ est sur $M^I$ une relation d'équivalence compatible avec $\in_U$ et $M^I/=_U$ muni de la relation induite par $\in_U$ satisfait tout ZFC (l'application qui à $a\in M$ fait correpondre la classe d'équivalence de la fonction constante $i\mapsto a$ est un plongement élémentaire). Le $\N$ de $M^I/=_U$ peut être absolument énorme suivant le choix de $I$ ($I:=\N$ suffit si ma mémoire ne me joue pas des tours).Exo: soit $(E,\leq)$ un ensemble totalement ordonné. Construire $I$ et $U$ de sorte qu'il existe une injection strictement croissante de $(E,\leq)$ dans $\N_{M^I/=_U}$ (bref quand on parle d'indénombrable, en fait toutes sortes d'exotismes existent).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
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En effet, puisque les fonctions $f_a : i\in\Bbb N\mapsto \lfloor i^a\rfloor$ avec $a\in\Bbb R_+^*$ sont en nombre indénombrable et elles sont toutes dans des classes d'équivalences distinctes de $\Bbb N^{\Bbb N}/=_U$.Foys a dit :
Le $\N$ de $M^I/=_U$ peut être absolument énorme suivant le choix de $I$ ($I:=\N$ suffit si ma mémoire ne me joue pas des tours).Foys a dit :Exo: soit $(E,\leq)$ un ensemble totalement ordonné. Construire $I$ et $U$ de sorte qu'il existe une injection strictement croissante de $(E,\leq)$ dans $\N_{M^I/=_U}$ (bref quand on parle d'indénombrable, en fait toutes sortes d'exotismes existent).Soit $I$ l'ensemble des parties finies de $E$. Soit $F = \{\{A\in I\mid A\supset B\} \mid B\in I\}$ l'ensemble grosso modo des sections finissantes de $I$ pour l'ordre $\subset$. $F$ est un filtre, donc il existe un ultrafiltre $U$ le contenant. Soit, pour tout $e\in E$, $f_e \in \Bbb N^I$ la fonction $A\in I\mapsto \mathrm{card}(\{a\in A \mid a\leqslant e\})$. Pour tous $e<e'$ dans $E$ on a : $\{A\in I\mid f_e (A)<f_{e'}(A)\}\supset\{A\in I\mid e\in A\}\in F$ donc $\{A\in I\mid f_e (A)<f_{e'}(A)\}\in U$. Ainsi, $e\mapsto f_e$ est une injection croissante $E\to \Bbb N^I/=_U$, si je ne me trompe pas. -
Etant donné $X$ un ensemble (ou une classe ...) et $F$ une formule de logique du premier ordre sur la signature $\in , =$, on définit la restriction $F|_X$ de $F$ à $X$ de la façon suivante:-si $F$ est $a\in b$ ou $a=b$ alors $F|_X := F$-si $F=nand (G,H)$ alors $F_X := nand (G_X,H_X)$-si $F= \exists u K$ alors $F|_X:= \exists u (u \in X \wedge K|_X)$.la citation encadrée est alors une conséquence du "principe (en fait schéma de théorèmes) de réflexion" de Montague (ainsi que du théorème de Lowenheim-Skolem pour l'ajout de la dénombrabilité encore que ça ne sert à rien ici): si $F$ est une formule de théorie des ensembles sans variables libres, pour tout ordinal $\alpha$, il existe un ordinal limite $\beta > \alpha$ tel que $F \Leftrightarrow F|_{V_{\beta}}$ est un théorème de ZFC. Ce résultat est presque sûrement démontré dans ton livre de théorie des ensembles préféré.Ceci permet de faire semblant d'avoir un modèle de ZFC sous la forme d'un $V_{\beta}$: soit $A$ un énoncé sans variables libres et $M$ une lettre. Soit $\mathcal T$ la théorie constituée de tous les axiomes de ZFC et de tous les énoncés de la forme $G|_M$ où $G$ est un axiome de ZFC.Alors si $\mathcal T$ démontre $A$, ZFC démontre également $A$. En effet soient $G_1,...,G_d$ des axiomes de ZFC tels que les axiomes de $\mathcal T$ qui ne sont pas des axiomes de ZFC mais sont invoqués dans la preuve de $A$ sont de la forme $G_k|_M$ pour un certain $k$. On pose $F:= \bigwedge_{i=1}^d G_i$. On considère $\beta$ associé à $F$ comme dans le schéma de réflexion, et on remplace $M$ par $V_{\beta}$ dans toute la preuve précédente: on a alors démontré $A$ dans ZFC.Ainsi, $\mathcal T$ est une extension conservative de ZFC (et donc lui est équiconsistante).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Merci Foys,
je viens de comprendre une question d'une de mes élèves de seconde à la fin d'une démonstration de "La somme de deux multiples d'un nombre est un multiple de ce nombre".-> Mais en quoi ça prouve ?Qu'ai-je répondu ? -
Calli a dit :Soit, pour tout $e\in E$, $f_e \in \Bbb N^I$ la fonction $A\in I\mapsto \mathrm{card}(\{a\in A \mid a\leqslant e\})$. Pour tous $e<e'$ dans $E$ on a : $\{A\in I\mid f_e (A)<f_{e'}(A)\}\supset\{A\in I\mid e\in A\}\in F$ donc $\{A\in I\mid f_e (A)<f_{e'}(A)\}\in U$. Ainsi, $e\mapsto f_e$ est une injection croissante $E\to \Bbb N^I/=_U$, si je ne me trompe pas.
Ce serait plutôt $\{A\in I\mid f_e (A)<f_{e'}(A)\}\supset\{A\in I\mid e, e' \in A\}\in F$ donc $\{A\in I\mid f_e (A)<f_{e'}(A)\}\in U$ mais sinon oui c'est ça.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Comment sais-tu ça ?
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C’est un de tes élèves.
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https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415924/#Comment_2415924
Merci, j'ai mieux compris. Mais je ne comprends pas à quoi ça sert, ni le lien avec le paragraphe suivant dans ton premier message. -
C'était pour dire qu'il est légitime d'introduire un ensemble $M$ et de supposer qu'il vérifie lui-même tout ZFC, puis de construire un autre ensemble avec un $\N$ non dénombrable.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
$M$ ci-dessus est un ensemble. Sinon, on peut construire une classe qui sera un modèle intérieur mais avec l'égalité qui devient une relation d'équivalence par laquelle on ne peut plus quotienter donc c'est un peu plus compliqué à manipuler.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
NB: la construction ci-dessus avec l'ultrafiltre est un cas particulier du théorème de Łoś: https://en.wikipedia.org/wiki/Ultraproduct
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Calli a dit :
En admettant que ZF est cohérente, existe-t-il un modèle de ZF dont le $\Bbb N$ est intuitivement indénombrable, i.e. il ne peut pas être émérméé à l'aide des entiers naturels intuitifs ? Ou bien une variante de cette question : existe-t-il deux modèles $(M,\in_M)$ et $(N,\in_N)$ de ZF tels que $M\subset N$ et le $\Bbb N$ de $M$ est indénombrable dans $N$ ?Comment dans ta question définis-tu $\mathbb{N}$ et dénombrable car l'identité est une bijection de $\mathbb{N}$ ce qui stricto sensu signifie $\mathbb{N}$ est dénombrable
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Bonjour @Alain24 je ne suis pas un expert mais il me semble que la réponse à ta question est dans le message que tu as cité. Dans le sens où dans la première partie du message il y a deux $\mathbb{N}$, celui de "intuitivement dénombrable" et celui d'un modèle de ZF et la question c'est justement est ce qu'on peut trouver un modèle tel qu'il n'y a pas de bijection entre les deux $\mathbb{N}$. Si la première partie te parait trop vague, il a mis la variante de la question, qui est plus précise (j'ai l'impression). On part d'un modèle $M$ (je ne connais pas la définition d'un modèle mais avec les messages plus haut j'ai l'impression qu'on a au moins une flexibilité sur la définition de l'appartenance), on peut calquer une construction classique de $\mathbb{N}$ dessus, ce $\mathbb{N}$ dépend de $M$, puis on prend une extension du modèle (ie : $N$ tel que $M \subset N$) et on peut construire le $\mathbb{N}$ du modèle étendu. Et on regarde si le premier $\mathbb{N}$ est en bijection avec le $\mathbb{N}$ du modèle étendu.
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Bonjour,un ensemble est dit dénombrable s'il peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels.N est dénombrable, Q est dénombrable, R n'est pas dénombrable.Un ensemble infini est dit indénombrable s'il n'est pas dénombrable .N peut-il être indénombrable ?La réponse est non puisque par définition, N est dénombrable.Sinon N serait à la fois dénombrable et indénombrable., si les mots ont un sens.Bien cordialement.kolotoko
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Bonjour Kolotoko."... avec l'ensemble des entiers naturels". Quel "ensemble des entiers naturels" ? Comment est-il défini ?Je laisse aux logiciens (je ne le suis pas) expliciter ma question.Cordialement.
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Mais pour débuter, si tu relis bien le deuxième message de ce fil, tu verras qu'il y a deux $\mathbb N$ et que l'un est indénombrable dans la théorie (celle du modèle) de l'autre. Dans cette théorie, "dénombrable" c'est "en bijection avec ce $\mathbb N$.
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@Barjovrille a assez bien résumé les subtilités de la question (qui est dure à comprendre quand on n'a jamais vu ces trucs bizarres de logique, je vous l'accorde). J'ajoute quelques précisions.
Un modèle de la théorie des ensembles ZF est un couple $(M,\in_M)$ où $M$ est une collection d'objets (pas un ensemble a priori, juste une collection au sens intuitif) et $\in_M$ est une relation entre les objets de $M$ (a priori pas au sens de la théorie des ensembles non plus, mais au sens intuitif) tel que $(M,\in_M)$ vérifie les axiomes de ZF.Barjovrille a dit :
je ne connais pas la définition d'un modèle
Plus précisément on regarde si ces deux $\Bbb N$ sont en bijection dans $N$ (je précise à quel modèle la bijection appartient, même si ça pourrait difficilement être $M$ puisqu'une application ne peut pas sortir de son modèle).Barjovrille a dit :Et on regarde si le premier $\mathbb{N}$ est en bijection avec le $\mathbb{N}$ du modèle étendu.
La seconde question de mon premier message est vraiment une variante pour moi, pas une précision. Je l'ai ajoutée car je ne savais pas si on peut répondre à la première question. Mais c'est quand même vrai que les deux questions sont dans le même esprit.Barjovrille a dit :Si la première partie te parait trop vague, il a mis la variante de la question, qui est plus précise (j'ai l'impression). -
@Barjovrille J'ai compris ta réponse : dans l'énoncé la notation $\mathbb{N}$ et l'adjectif dénombrable sont ambigü.e.s
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Merci @Calli pour les précisions.
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