Une matrice diagonale commute-t-elle ?

Shadows Asgard · March 2023

Bonjour, je me pose une question : de manière générale une matrice diagonale commute-t-elle avec toute matrice ? Car en effet dans mon cours j'ai un passage où si cela est vrai alors cela expliquerait comment on passe d'une ligne à l'autre car sinon je ne vois pas comment on fait pour passer d'une ligne à l'autre dans la pièce jointe que j'ai indiqué. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Pouvez-vous m'expliquer le passage de la première ligne à la deuxième ligne que j'ai indiqué sur mon brouillon s'il vous plaît ?
Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée à vous

Cordialement

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JLapin · March 2023

Ce n'est pas le même $X$ d'une ligne à l'autre. Il y a un changement de variable en fait.

Et non, en général, une matrice diagonale ne commute pas avec une matrice quelconque.

Shadows Asgard · March 2023

Ah ok merci JLapin ! En fait si je comprends bien, le professeur a posé X = P**(-1) X mais il ne l'a pas indiqué et c'est de là que venait mon incompréhension ?

JLapin · March 2023

Oui, c'est à peu près ça. Par contre, si tu veux rédiger le changement de variable, il faut utiliser une autre lettre que $X$ pour ta nouvelle inconnue.

Shadows Asgard · March 2023

D'accord, merci beaucoup JLapin !
Et j'ai une autre question car un peu plus loin je ne comprends pas l'équivalence que j'ai indiquée en pièce jointe.
Pouvez-vous m'expliquer comment obtient-on :
$x(t)=x(0)\exp(\lambda_1)t$

$y(t)=y(0)\exp(\lambda_2)t$

Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée à vous
Cordialement.

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gerard0 · March 2023

C'est du cours de base sur les équations différentielles (équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants). La constante est obtenue en utilisant x(t)=x(0) lorsque t=0.
Cordialement.

Shadows Asgard · March 2023

Pouvez-vous me montrer le lien de la propriété en question s'il vous plaît ? Car je ne la retrouve pas dans mon cours.

gerard0 · March 2023

Il suffit de taper équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sur un moteur de recherche, et tu tombes sur la page Wikipédia. La partie "équation différentielle linéaire homogène" répond à ton besoin.

Mais on trouve ça dans n'importe quel cours de BTS, d'IUT, de L1. Ça se voyait d'ailleurs en fin de lycée naguère.

Shadows Asgard · March 2023

D'accord merci beaucoup Gérard0 ! Et juste autre petite question un peu plus loin on a un dénominateur avec lambda 1 mais seulement je me demandais: comment peut-on savoir qu'on peut avoir lambda 1 au dénominateur ? On ne connaît pas sa valeur ? Et donc on ne peut pas écrire cela dans la mesure où lambda 1 peu valoir 0 ? Comment sait-on que lambda 1 est différent de 0 ?

Héhéhé · March 2023

Pas très compliqué de calculer explicitement le produit d'une matrice quelconque et d'une matrice diagonale et de constater qu'il n'y a aucune raison que ça commute.

Shadows Asgard · March 2023

Oui pardon Héhéhé vous avez raison en effet je me suis rendu compte de mon erreur. Mais désormais j'ai une autre question : un peu plus loin on a un dénominateur avec lambda 1 mais seulement je me demandais: comment peut-on savoir qu'on peut avoir lambda 1 au dénominateur ? On ne connaît pas sa valeur ? Et donc on ne peut pas écrire cela dans la mesure où lambda 1 peu valoir 0 ? Comment sait-on que lambda 1 est différent de 0 ?

gerard0 · March 2023

Difficile de dire, avec le fouillis de documents que tu nous présentes. Cependant, si $\lambda_1=0$, alors $x(t)$ est une constante et dont t n'en dépend plus.

Tu aurais un énoncé propre et complet, on pourrait chercher. mais tu peux chercher, toi aussi ...