Merci je vois l'idée. Cette question est loin d'être facile.
Notons $m$ l'ordre de $a$.
61.a) Soit $b \in \Z$ tel que $\tilde{b}$ soit un générateur de $(\Z / p \Z)^{*}$. Posons : $a=b^{p^{n-1}}$.
Montrons que $\tilde{a}$ est générateur de $(\Z / p \Z)^{*}$. Pour cela, on remarque que $\# (\Z / p \Z)^{*}=p-1$ et $p^{n-1} \wedge ( p-1)=1$ alors $\tilde{a}$ engendre $(\Z / p \Z)^{*}$.
Montrons que $\bar{a}$ est d'ordre $p-1$ dans $(\Z / p^n \Z)^{*}$. On a $\bar{a}^{p-1}=\bar{b}^{\varphi(p^n)}=\bar{1}$. Donc $\boxed{m \mid p-1}$. Réciproquement, si $\bar{a}^m=\bar{1}$ alors $\bar{a}^m = \bar{b^{mp^{n-1}}} =\bar{1}$. Donc $\pi( \bar{a}^m )= \pi ( b^{mp^{n-1}})$ et comme $\pi$ est un morphisme alors $\tilde{a}^m = \tilde{b}^{m p^{n-1}}$. Mais $\tilde{b}$ est d'ordre $p-1$ dans $(\Z / p \Z)^{*}$ donc $p-1 \mid mp^n$. Comme $(p-1) \wedge p^n=1$, d'après le théorème de Gauss, $\boxed{p-1 \mid m}$. On a montré finalement $\boxed{m=p-1}$.
$\pi_°\varphi$ est plutôt identité de $\Z/p\Z$ : une négligence d'énoncé de plus.
@OS Tu sais passer d'un élément générateur de $\Z/p\Z$ à un élément d'ordre $p-1$ dans le groupe $G=(\Z/p^n\Z)^*$ et tu ne vois pas comment le traduire en morphisme ? Faudrait quand même faire un effort !
On veut montrer (c), et on l'obtient directement avec la suite exacte du lien, à condition qu'elle ait une section, i.e. qu'il existe une application $\varphi$ qui vérifie la propriété énoncée dans (b).
Maintenant, cette application n'est pas difficile à trouver, le travail a été fait dans (a).
@Julia Paule Les suites exactes sont hors-programme de l'agrégation interne, ça dépasse largement le niveau de l'interne.
@rakam Non je n'ai pas compris comment le traduire en morphisme. Je reste bloqué sur cette question. Je ne comprends pas le rapport entre la question a et la question b.
Bah le morphisme $\varphi : (\Z/p\Z)^* \to (\Z/p^n\Z)^*$ tel que $\varphi(\tilde{a})=\bar{a}$ avec le $a$ de la question 61. (a) non? Le morphisme $\varphi$ est entièrement déterminé car on donne l'image d'un générateur de $(\Z/p\Z)^*$ et on voit directement que $\pi \circ \varphi$ est l'identité de $(\Z/p\Z)^*$ (qui est bien une erreur d'énoncé car justement $\varphi$ part de $(\Z/p\Z)^*$) . Après, je reviens comme un cheveu sur la soupe mais je ne vois pas la subtilité ici ^^'
D'accord merci j'ai compris ! C'est impressionnant le nombre d'erreurs d'énoncé. 61.b) Soit $\tilde{x} \in (\Z / p \Z)^{*}$ alors il existe $k \in \Z$ tel que $\tilde{x}=\tilde{a}^k$. Donc $\varphi(\tilde{x})=\bar{a}^k$. Puis $\pi (\bar{a}^k)=\tilde{a}^k= \tilde{x}$ ce qui montre le résultat voulu car on a montré $\forall \bar{x} \in (Z / p \Z)^{*} \ \pi \circ \varphi ( \tilde{x} ) = \tilde{x}$.
Ainsi $\boxed{\pi \circ \varphi = id_{( \Z / p \Z)^{*}}}$.
Supposons que tu aies trouvé un second $b\in \Z$ qui a les mêmes propriétés que $a$ (c'est à dire en particulier que $\tilde{b}$ est un autre générateur). On sait qu'il existe $k$ tel que $\tilde{b}=\tilde{a} ^k.$ Est-ce que $\bar{b}= (\bar {a})^k$ (dans $\Z/p^n\Z$)?
Ah, les suites exactes ne sont pas au programme de l'agrégation interne. Alors quel est le rapport entre les questions a) et b) ?
On cherche un morphisme $\varphi$ tel que $\pi \circ \varphi = Id$. Or $\varphi$ est entièrement déterminé par l'image de $\tilde a$, un générateur quelconque de $(\Z / p \Z)^*$.
Mais pour avoir $\pi \circ \varphi = Id$, avec $\varphi$ un morphisme, en prenant logiquement $\varphi(\tilde a)=\overline a$ (car $\pi (\overline a) = \tilde a$), il faut que $\overline a$ soit d'ordre $p-1$.
En effet, on sait que $p-1$ divise l'ordre de son image $\overline a$. En prenant un générateur quelconque, alors $\varphi$ n'est pas forcément un morphisme : si $\overline a$ est d'ordre $ k >p-1$, alors $\varphi(\tilde a^{p-1})=\varphi(\tilde 1)= \overline 1 \ne \varphi(\tilde a)^{p-1} = \overline a^{p-1}$.
Il faut rajouter à la démonstration que le $a$ trouvé dans a) convient.
Tu veux dire $\varphi$ je suppose ? Alors je précise si tu as $a$ et $b$ tel que $\tilde {a} = \tilde { b} $ mais $\bar {a}\neq \bar { b} $ mais bien entendu $\bar {a}$ et $\bar { b} $ d'ordre $p-1. $ Tu dis que $\varphi(\tilde {a}) = \bar{a}. $ Avec cet exemple $k=1$ et pourtant $\bar{a} \neq \bar{b}. $
Pour la 61.c, tu peux utiliser qu'un groupe $G$ abélien fini est isomorphe au produit direct de deux de ses sous-groupes $H$ et $K$ ssi $H \cap K=1$ et $|G|=|H||K|$.
Pour la 61 b), pour qu'il existe un morphisme $\varphi : (\Z / p \Z)^* \to (\Z / p^n \Z)^*$ tel que $\pi \circ \varphi = Id$, il faut que la restriction de $\pi$ à $\varphi((\Z / p \Z)^*)$ (engendré par $\varphi(\tilde a)$, avec $\tilde a$ un générateur) soit un isomorphisme sur $(\Z / p \Z)^*$, donc que $\varphi(\tilde a)$ soit d'ordre $p-1$, et alors en prenant $\varphi(\tilde a)=\overline a$, avec $\overline a$ d'ordre $p-1$, on a bien le résultat voulu.
Pour la 61.c, tu peux utiliser qu'un groupe $G$ abélien fini est isomorphe au produit direct de deux de ses sous-groupes $H$ et $K$ ssi $H \cap K=1$ et $|G|=|H||K|$.
Je ne crois pas que ce résultat soit au programme. À mon avis s'ils attendaient cette preuve, ils auraient demander de démontré ce résultat dans les exercices préliminaires. Je n'ai pas vu ce résultat dans les cours que j'ai pu étudiés.
Pour la 61 b), pour qu'il existe un morphisme $\varphi : (\Z / p \Z)^* \to (\Z / p^n \Z)^*$ tel que $\pi \circ \varphi = Id$, il faut que la restriction de $\pi$ à $\varphi((\Z / p \Z)^*)$ (engendré par $\varphi(\tilde a)$, avec $\tilde a$ un générateur) soit un isomorphisme sur $(\Z / p \Z)^*$, donc que $\varphi(\tilde a)$ soit d'ordre $p-1$, et alors en prenant $\varphi(\tilde a)=\overline a$, avec $\overline a$ d'ordre $p-1$, on a bien le résultat voulu.
Je n'ai pas compris cette preuve. Je ne vois pas d'où sort l'isomorphisme, et la suite ça va trop vite pour moi.
61.b) Soit $\tilde{x} \in (\Z / p \Z)^{*}$ alors il existe $k \in \Z$ tel que $\tilde{x}=\tilde{a}^k$. Donc $\varphi(\tilde{x})=\bar{a}^k$.
Je ne vois pas du tout la raison de ce "Donc".
Si $F,G$ sont les groupes des inversibles modulo $p,\,p^n$ respectivement le choix de $f(x,y)=x\varphi(y)$ pour $(x,y)\in H\times F$ me semble mériter quelque considération.
@rakam Je ne sais pas ce que représente ce $f(x,y)=x \varphi(y)$ mais en effet j'ai fait n'importe quoi. Je coince sérieusement à la 61.b et je n'arrive à plus rien faire, ça devient très difficile pour moi. Le fait qu'il y ait deux classes d'équivalence mélangées m'embrouille complètement.
@bd2017 Je crois que je confonds avec le fait que dans $\R$ par exemple, si $x=y$ alors $f(x)=f(y)$. Ici ça ne marche pas avec la morphisme $\pi$. Sur $n=2$ et $p=3$ on a $\Z / p \Z = \Z / 3 \Z$ et $\Z / p^n \Z= \Z / 9 \Z$ On a $\tilde{3}=\tilde{9}$ mais $\bar{3} \ne \bar{9}$.
Et alors, c'est vrai qu'on peut montrer c) directement sans s'embêter à montrer a) et b), donc ce n'est certainement pas la preuve attendue, mais elle serait valable.
Pour prendre un exemple, avec $p=3$ et $n=2$, $\tilde 2$ est d'ordre 2, et $\overline 2$ est d'ordre 6 (donc générateur). On a $\varphi(\tilde 2^2)=\varphi(\tilde 1)=\overline 1$, mais $\varphi(\tilde 2)^2=\overline 2^2=\overline 4$.
Il ne suffit pas de décréter $\varphi (\tilde a ^k)=\varphi(\tilde a)^k$ pour faire de $\varphi$ un morphisme de groupes. C'est assez troublant.
En fait, il faut prendre $a=8=2^{3^{(2-1)}}$ (comme attendu), qui est d'ordre 2 dans les deux groupes. On peut décréter $\varphi(\tilde 2)=\overline 8$, ça marchera de la même façon, mais comme $\tilde 2=\tilde 8$, autant rester avec $8$.
O'Shine, si $x=y$, alors $f(x)=f(y)$, ça c'est toujours vrai. En fait, $f(\tilde 9)=f(\tilde 3)=\overline 3$. Ce qui est faux, c'est $f(\tilde 3^2)=f(\tilde 3)^2$.
Décréter $\varphi(a^k)=\varphi(a)^k$ ne permet pas de faire de $\varphi$ un morphisme. En effet, il faut s'assurer que l'application $\varphi : a^k \mapsto \varphi(a)^k$ est bien définie, i.e. $\forall k,l \in \Z, a^k=a^l \Rightarrow \varphi(a)^k=\varphi(a)^l$, ce qui n'est pas automatique.
Et pour cela, il suffit que les ordres de $a$ et $\varphi(a)$ dans leurs groupes respectifs soient égaux (facile à montrer, mais à ma connaissance, ce n'est pas du cours).
En fait, pour que l'application soit bien définie, il faut et il suffit que l'ordre de $\varphi(a)$ divise celui de $a$, et comme ici on a que l'ordre de $\tilde a$ divise celui de $\varphi(\tilde a)=\overline a$, il faut avoir l'égalité des ordres.
Par analogie, si une roue dentée en entraîne une autre, pour qu'elles reviennent ensemble au point de départ au bout d'un tour de la 1ère, il faut et il suffit que le nombre de dents de la 2ème divise le nombre de dents de la 1ère.
Du coup, 61.b) est facile à montrer.
@O'Shine, mon isomorphisme n'était pas une preuve, mais un essai de comprendre d'où sort qu'il faut que $\tilde a$ et $\overline a$ aient même ordre pour qu'il existe un morphisme $\varphi$ tel que $\pi \circ \varphi = Id$.
Pour 61.c) (en suivant la logique de l'énoncé), je vais suivre l'indication de @rakam.
@rakam, pour 61.c), en effet l'application $f : H \times (\Z / p \Z)^* \to (\Z / p^n \Z)^*, (\overline 1 +pu, \tilde a^k) \mapsto (\overline 1 +pu) \overline a^k$, i.e. $f(x,y)=x \varphi(y)$, est un isomorphisme de groupes.
dans $\mathbb{R}$, si $x=y$ alors $f(x)=f(y)$. Ici ça ne marche pas avec la morphisme $\pi$.
Comment peux-tu écrire un truc aussi faux que ça ? Là, tu dépasses les bornes. Julia l'a déjà relevé, mais elle ne dit pas à quel point ça peut être choquant de lire ça.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourran, bah je l'ai déjà vu plusieurs fois ! On a tendance à l'écrire quand on veut montrer qu'une application qui envoie une classe d'équivalence sur son image, quand l'application est définie à partir d'un représentant, est bien définie, pour montrer qu'elle ne dépend pas du représentant choisi.
Oui, quand on cherche à vérifier si la définition d'une fonction qui travaille sur des classes d'équivalence est cohérente, on vérifie si l'image de telle classe dépend du représentant choisi. Si l'image ne dépend pas du représentant choisi, alors la fonction est valide, et sinon, la fonction n'est pas valide, elle n'est pas définie correctement. Ici, c'est totalement différent, on parle d'une fonction qui est définie, elle existe, ça fait plusieurs questions qu'on travaille sur cette fonction $\pi$ ; donc on ne se demande pas si $f(x)= f(y)$ quand $x=y$. Et pire, OShine dit clairement que la fonction $\pi$ existe, et que cette fonction a comme particularité : il y a des éléments x (ou y, c'est la même chose), tels $x=y$ mais $\pi(x) \ne \pi(y)$ Tu es quand même consciente qu'il faut lui dire que c'est une faute très grave. Une phrase comme ça à un oral du CAPES, et tu te fais éliminer immédiatement.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourrran, cette question 61. n'est pas facile. J'imagine qu'on peut écrire n'importe quoi parce qu'on n'y comprend rien, et de fait, il faut du temps pour comprendre et répondre à la question a) (déjà parce qu'on ne comprend pas où on veut en venir), puis comprendre l'enchaînement entre a) et b), puis répondre à b), et c).
J'ai déjà dû écrire une fois cette énormité (vite rattrapée heureusement), et maintenant je connais le piège.
Et en effet, ce n'est pas un problème de classe d'équivalence, mais d'élément de torsion. Ce problème n'existe pas dans $\R$ où il n'y en a pas, mais il existe dans $\C^*$ où il y en a.
Bref, pour comprendre tout-à-fait la question 61, il faut comprendre d'où ça sort, et le faire à l'envers :
On remarque que le groupe $(\Z / p^n \Z)^*$ est d'ordre $p^{n-1}(p-1)$, et que $p^{n-1}$ et $p-1$ sont premiers entre eux. Donc on peut chercher deux sous-groupes de $(\Z / p^n \Z)^*$ d'ordres $p^{n-1}$ et $p-1$ (ou des groupes isomorphes), leur intersection sera triviale et leur produit direct fera le groupe $(\Z / p^n \Z)^*$.
Le groupe cyclique d'ordre $(\Z / p \Z)^*$ d'ordre $p-1$ est tout trouvé, il s'agit de trouver un sous-groupe de $ (\Z / p^n \Z)^*$ isomorphe à $(\Z / p \Z)^*$, c'est la question a).
Le groupe $\Z / p^{n-1} \Z$ est d'ordre $p^{n-1}$, mais ce n'est pas un sous-groupe de $(\Z / p^n \Z)^*$ ; or on remarque qu'il est isomorphe à $p \Z / p^n \Z$, on y est presque, il suffit de rajouter $\overline{1}$ et de prendre $H=\overline{1} + p \Z / p^n \Z$ pour en faire un sous-groupe de $(\Z / p^n \Z)^*$ de l'ordre cherché. C'est la question 60.
Passer de b) à c) est immédiat quand on connait les suites exactes, sinon il faut se remonter les manches.
Et voilà. Je ne rajouterais pas qu'il faut 6 heures rien que pour comprendre les questions 59. à 61., je vais m'attirer les foudres.
Julia, tu devrais arrêter de défendre l'indéfendable. OS n'est pas un candidat à l'agreg qui publie ses brouillons du concours, c'est un fanatique des corrigés, qui écrit sans trop penser, par imitation, en attendant que des poires dans ton genre rectifient et publient un corrigé. Pourquoi crois-tu que la plupart des gens sérieux et costauds du forum ne le lisent même plus ?
@gerard0 Pour ma part, j'apprends beaucoup avec OS, parce qu'il se pose les mêmes questions que moi. Ce qui lui manque, c'est le déclic pour démarrer une question, mais une fois qu'on lui donne l'indice de départ, vroom il est parti. Il me fait penser à un ami proche, qui n'y arrivait pas en maths, mais dès qu'il avait la solution sous les yeux, il la comprenait, mais ne comprenait pas comment il n'y avait pas pensé.
Pour moi, OS dit tout haut ce que beaucoup pensent tout bas (par exemple l'enchaînement entre a) et b) qui ne saute pas aux yeux quand on ne connait pas), d'ailleurs NicoLeProf s'était posé la même question.
Je ne suis pas une poire, je m'amuse et j'apprends avec lui. Si je te suis, tu n'es pas sérieux et costaud puisque tu le lis encore (puisque tu réponds sur ce fil).
Bref, cela ne m'étonnerait pas que OS réussisse l'agrég un jour. En fait, je ne vois pas en quoi il te dérange (ou plutôt si, j'en ai une petite idée).
Pour tout dire, je ne comprends pas pourquoi des gens comme toi rembarrent parfois les gens qui posent des questions : est-ce par lassitude de ré-expliquer la même chose, ou bien, est-ce pour garder leurs petits secrets, ou bien est-ce encore parce qu'ils ne se souviennent plus de ce qui les a amenés à comprendre ce qui pour eux est maintenant devenu une évidence ? Cela m'intéresserait vraiment que tu répondes à cette question.
Pour revenir aux maths, comment peut-on démontrer la question 64. sans les nombres p-adiques : $(p \Z / p^n \Z, +)$ isomorphe à $(\overline 1 + p \Z / p^n \Z, .)$ ?
Ils sont de même ordre, et puisque $(p \Z / p^n \Z, +) \cong ( \Z / p^{n-1} \Z, +)$ est cyclique, c'est que $(\overline 1 + p \Z / p^n \Z, .)$ est cyclique, et il suffit d'envoyer un générateur sur un générateur, mais comment ?
Julia Paule, je ne rembarre pas "parfois les gens qui posent des questions". Je ne rembarre que ceux dont les questions systématiques ne servent qu'à cacher leur incapacité à chercher eux-mêmes. J'ai fréquenté OS bien avant toi, il y a des années, sur un autre forum (il y avait moins de "poires", il est venu ici), en essayant de l'aider à progresser. Il n'a jamais voulu apprendre les bases, les cours du lycée. Il fait partie de ces gens qui sont capables de refaire par imitation des maths de bac+2 ou bac+3, mais ne savent presque rien faire seuls. "une fois qu'on lui donne l'indice de départ", c'est à dire qu'on fait à sa place le décodage de la situation, qu'on fait la traduction en termes plus élémentaires de l'énoncé, il est capable, effectivement, de dérouler la mécanique qu'il a lue (récemment).
Par contre, faire une question de terminale seul, non.
Donc contrairement à toi, j'espère qu'il n'aura pas l'agreg ; il a déjà eu le capes par raccroc (l'année où il n'y avait pas d'oral, où il se serait fait flinguer sur les questions de compréhension), ça suffit.
Mais continue à te servir de lui, comme de l'innocent de service, par contre, ne le défends pas, tu te décrédibilise. Arrête de dire que ses erreurs absurdes sont des fautes de frappe.
@OS a dit : " Je ne sais pas ce que représente ce $f(x,y)=x\varphi (y)$ mais en effet j'ai fait n'importe quoi."
En utilisant $G,F$ pour désigner les inversibles modulo $p^n,p$ respectivement, comme on veut définir une application de $H\times F$ vers $G$ je ne comprends pas ta question !
On a $H$ sous-groupe de $G$ (donc l'injection canonique est un morphisme de $H$ dans $G$) et on dispose d'un morphisme de $F$ dans $G$ (question 61.b) le choix le plus simple pour définir une application de $H\times F$ vers $G$ est de prendre le produit des images.
Pour la 61.b il suffit d'utiliser la question précédente.
Attention (surtout @OS qui n'aime pas le changement de notations) mais le "tilde" étant difficile à distinguer du "bar" sur le forum j'ai remplacé le $\tilde a$ de l'énoncé par $\bar{\bar a}$ qui me semble plus lisible
On dispose (inutile d'invoquer un représentant : il est donné par la le 61.a) d'un $\bar{\bar a}$ générateur de $F$ avec en plus $\overline a$ d'ordre $p-1$ dans $G$. Donc poser $\varphi(\bar{\bar a})=\overline a$ et le prolonger à $F$ définit bien une application de $F$ vers $G$ (il n'y a ici aucun besoin de vérifier la cohérence). Si on choisit de prolonger par $\varphi(\bar{\bar a}^k)=\overline a^k$ on obtient bien le morphisme attendu.
@gerard0, si tu m'avais bien lue, je n'ai pas dit que ses erreurs sont toutes des fautes de frappe, seulement certaines, et d'autres sont d'inattention, ou par suite d'incompréhension, énoncées par manque d'amour-propre, et je n'ai pas dit que j'espérais qu'il ait l'agrég (en fait je m'en moque), il ne faut pas déformer mes propos, et je ne le défends pas.
@bd2017, je ne patauge pas dans la vase, c'est plutôt toi (voir le message d'Area51).
@rakam, sur quel théorème te bases-tu pour dire qu'on n'a pas besoin de vérifier la cohérence ?
Vraiment, je ne comprends pas pourquoi OS vous gêne. Ce doit être une question de feeling. Et pourquoi vous ne voulez pas vous expliquer. Vous n'avez qu'à ne pas lire ses fils, et ne pas y répondre.
En fait je ne comprends tout simplement pas pourquoi dans un forum de maths d'entraide, on rembarre les gens qui posent des questions. Sauf si on veut que ce forum soit à un certain niveau d'excellence (on ne veut pas des lycéens, des L1-L2 qui posent des questions basiques, des gens qui ne posent pas des questions intéressantes). C'est ça ?
Si tu étais un peu attentive, tu verrais que ce n'est pas OS que je rembarre, mais toi. Et pas à propos de tes questions. Maintenant, si tu préfères ne pas connaître la réalité ...
J'arrête là, tu as mieux à faire ... des maths par exemple.
@Julia Paule : Enfin, @OShine, tout en montrant qu’il pouvait buter lourdement sur des questions élémentaires niveau lycée, se permet constamment de critiquer des sujets d’agreg ou autre, au nez et à la barbe de ceux qui passent ces concours.
Que certains trouvent cela inacceptable n’a rien d’étonnant.
Jamais à un oral de capes on poserait une question aussi difficile que la $61$. Quand je galère sur une question longtemps, je commence à raconter des bêtises et je mélange tout.
Pour Q61, j'aime bien la solution de @Julia Paule. Dans la catégorie abélienne, l'existence d'une section $\varphi : \mathbb{F_p}^{\times} \rightarrow (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times}$ fait que la suite exacte que j'ai écrite un peu plus haut se scinde à droite. D'où le produit direct demandé $H \times \mathbb{F_p}^{\times}$.
Je crois que la manière la plus simple de comprendre ce qui se passe, c'est de manière analytique (sans passer par le lemme de Hensel qui est sous-entendu). Un petit bonhomme $p$-adique, c'est $\displaystyle \sum_i u_i p^i$. Une unité $x \in \mathbb{Z}_p^{\times}$, c'est quand $u_0 \neq 0 \pmod{p}$ donc ça ressemble à $\displaystyle x = u_0 \bigg( 1 + p \sum_{i \geq 0} u_0^{-1} u_{i+1} p^i \bigg)$. Via cette écriture, le théorème Sachwoua (dont j'ai oublié l'orthographe correcte de la semaine dernière) permet de conclure.
Quant aux gens qui rembarrent quasi-systématiquement les personnes qui se contentent de poser des questions ou qui font état de leurs difficultés, généralement cela dénote une petitesse d'esprit couplée à leurs propres limitations mathématiques (inavouées).
@Julia Paule'' Si tu ne comprends pas pourquoi OShine cristallise à ce point les forumeurs, il vient de répondre à ta question, sa réponse est ici.
@OShine Je n'ai pas dit que cette question pouvait figurer au Capes, je dis que tu fais des erreurs indignes d'un prof ; ici, c'est même une erreur qui serait inacceptable de la part d'un étudiant en L1 d'ailleurs.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Pour Q57, soit $B = \bigg\{ x \, \Big| \, v_p(x) > \dfrac{1}{p-1} \bigg\}$ qui est aussi l'ensemble des éléments tels que $|x|_p < p^{-1/(p-1)}$, alors $\theta(\mathbb{Q}) \cap B$ (ou la même chose avec $\theta(\mathbb{N})$ ou $\theta(\mathbb{Z})$) est dense dans $\mathbb{Q}_p \cap B$. Vu que l'identité $\exp_p (x+y) = \exp_p(x) \exp_p(y)$ marche sur $\theta(\mathbb{Q}) \cap B$, elle s'étend à $\mathbb{Q}_p \cap B$.
@rakam Je suis encore sur la 61.b. Dans la 61.c les difficultés s'accumulent, dans l'application quelle multiplication considérer (il y a 3 ensembles différents) ? Il faut aussi vérifier que le produit est bien dans $(\Z / p^n \Z)^{*}$ ce qui ne me semble pas évident de tête.
61.b) Soit $\tilde{a}$ un générateur de $(\Z/ p \Z)^{*}$ et $\bar{a}$ d'ordre $p-1$. On pose $\varphi (\tilde{a})=\bar{a}$ et $\forall k \in \Z \ \varphi( \tilde{a}^k)=\bar{a}^k$. $\varphi : (\Z/ p \Z)^{*} \longrightarrow (\Z / p^n \Z)^{*}$.
Montrons que : $\forall k \in \Z \ \varphi( \tilde{a}^k)=\bar{a}^k$. Pour montrer que l'application est bien définie, il faut montrer que $ \forall u,v \in \Z \ \tilde{a}^{u} = \tilde{a}^v \implies \bar{a}^u = \bar{a}^v$.
Je ne vois pas comment montrer que : $ \forall u,v \in \Z \ \tilde{a}^{u} = \tilde{a}^v \implies \bar{a}^u = \bar{a}^v$, ni le lien avec $\bar{a}$ d'ordre $p-1$.
Encore une fois, ma difficulté provient qu'il y a deux quotients différents. Je ne suis pas habitué à rencontrer cette situation.
Réponses
Notons $m$ l'ordre de $a$.
61.a) Soit $b \in \Z$ tel que $\tilde{b}$ soit un générateur de $(\Z / p \Z)^{*}$. Posons : $a=b^{p^{n-1}}$.
Je ne comprends pas le rapport avec la question précédente.
Les suites exactes sont hors-programme de l'agrégation interne, ça dépasse largement le niveau de l'interne.
@rakam
Non je n'ai pas compris comment le traduire en morphisme. Je reste bloqué sur cette question.
Je ne comprends pas le rapport entre la question a et la question b.
Après, je reviens comme un cheveu sur la soupe mais je ne vois pas la subtilité ici ^^'
C'est impressionnant le nombre d'erreurs d'énoncé.
61.b) Soit $\tilde{x} \in (\Z / p \Z)^{*}$ alors il existe $k \in \Z$ tel que $\tilde{x}=\tilde{a}^k$. Donc $\varphi(\tilde{x})=\bar{a}^k$.
Puis $\pi (\bar{a}^k)=\tilde{a}^k= \tilde{x}$ ce qui montre le résultat voulu car on a montré $\forall \bar{x} \in (Z / p \Z)^{*} \ \pi \circ \varphi ( \tilde{x} ) = \tilde{x}$.
Ainsi $\boxed{\pi \circ \varphi = id_{( \Z / p \Z)^{*}}}$.
Tu dis que $\varphi(\tilde {a}) = \bar{a}. $ Avec cet exemple $k=1$ et pourtant $\bar{a} \neq \bar{b}. $
Ok merci je n'avais pas vu ce piège.
Je bloque sur la 61.c et je ne comprends pas la question 62. $p \Z_p$ n'est pas défini par le sujet.
À mon avis s'ils attendaient cette preuve, ils auraient demander de démontré ce résultat dans les exercices préliminaires.
Je n'ai pas vu ce résultat dans les cours que j'ai pu étudiés.
J'en pense que ça devient trop théorique, je ne comprends plus grand chose.
Je ne sais pas ce que représente ce $f(x,y)=x \varphi(y)$ mais en effet j'ai fait n'importe quoi.
Je coince sérieusement à la 61.b et je n'arrive à plus rien faire, ça devient très difficile pour moi.
Le fait qu'il y ait deux classes d'équivalence mélangées m'embrouille complètement.
@bd2017
Je crois que je confonds avec le fait que dans $\R$ par exemple, si $x=y$ alors $f(x)=f(y)$. Ici ça ne marche pas avec la morphisme $\pi$.
Sur $n=2$ et $p=3$ on a $\Z / p \Z = \Z / 3 \Z$ et $\Z / p^n \Z= \Z / 9 \Z$
On a $\tilde{3}=\tilde{9}$ mais $\bar{3} \ne \bar{9}$.
Là, tu dépasses les bornes.
Julia l'a déjà relevé, mais elle ne dit pas à quel point ça peut être choquant de lire ça.
Ici, c'est totalement différent, on parle d'une fonction qui est définie, elle existe, ça fait plusieurs questions qu'on travaille sur cette fonction $\pi$ ; donc on ne se demande pas si $f(x)= f(y)$ quand $x=y$.
Et pire, OShine dit clairement que la fonction $\pi$ existe, et que cette fonction a comme particularité : il y a des éléments x (ou y, c'est la même chose), tels $x=y$ mais $\pi(x) \ne \pi(y)$
Tu es quand même consciente qu'il faut lui dire que c'est une faute très grave. Une phrase comme ça à un oral du CAPES, et tu te fais éliminer immédiatement.
Maintenant, si tu préfères ne pas connaître la réalité ...
Quand je galère sur une question longtemps, je commence à raconter des bêtises et je mélange tout.
Si tu ne comprends pas pourquoi OShine cristallise à ce point les forumeurs, il vient de répondre à ta question, sa réponse est ici.
@OShine
Je n'ai pas dit que cette question pouvait figurer au Capes, je dis que tu fais des erreurs indignes d'un prof ; ici, c'est même une erreur qui serait inacceptable de la part d'un étudiant en L1 d'ailleurs.
Je suis encore sur la 61.b.
Dans la 61.c les difficultés s'accumulent, dans l'application quelle multiplication considérer (il y a 3 ensembles différents) ? Il faut aussi vérifier que le produit est bien dans $(\Z / p^n \Z)^{*}$ ce qui ne me semble pas évident de tête.
61.b) Soit $\tilde{a}$ un générateur de $(\Z/ p \Z)^{*}$ et $\bar{a}$ d'ordre $p-1$.
On pose $\varphi (\tilde{a})=\bar{a}$ et $\forall k \in \Z \ \varphi( \tilde{a}^k)=\bar{a}^k$.
$\varphi : (\Z/ p \Z)^{*} \longrightarrow (\Z / p^n \Z)^{*}$.
- $\pi \circ \varphi( \tilde{a})= \pi( \bar{a} )= \tilde{a}$.
- Montrons que : $\forall k \in \Z \ \varphi( \tilde{a}^k)=\bar{a}^k$. Pour montrer que l'application est bien définie, il faut montrer que $ \forall u,v \in \Z \ \tilde{a}^{u} = \tilde{a}^v \implies \bar{a}^u = \bar{a}^v$.
Je ne vois pas comment montrer que : $ \forall u,v \in \Z \ \tilde{a}^{u} = \tilde{a}^v \implies \bar{a}^u = \bar{a}^v$, ni le lien avec $\bar{a}$ d'ordre $p-1$.Encore une fois, ma difficulté provient qu'il y a deux quotients différents. Je ne suis pas habitué à rencontrer cette situation.