Une matrice diagonale commute-t-elle ?
Bonjour, je me pose une question : de manière générale une matrice diagonale commute-t-elle avec toute matrice ? Car en effet dans mon cours j'ai un passage où si cela est vrai alors cela expliquerait comment on passe d'une ligne à l'autre car sinon je ne vois pas comment on fait pour passer d'une ligne à l'autre dans la pièce jointe que j'ai indiqué. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Pouvez-vous m'expliquer le passage de la première ligne à la deuxième ligne que j'ai indiqué sur mon brouillon s'il vous plaît ?
Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée à vous
Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée à vous
Cordialement
Réponses
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Ce n'est pas le même $X$ d'une ligne à l'autre. Il y a un changement de variable en fait.Et non, en général, une matrice diagonale ne commute pas avec une matrice quelconque.
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Ah ok merci JLapin ! En fait si je comprends bien, le professeur a posé X = P**(-1) X mais il ne l'a pas indiqué et c'est de là que venait mon incompréhension ?
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Oui, c'est à peu près ça. Par contre, si tu veux rédiger le changement de variable, il faut utiliser une autre lettre que $X$ pour ta nouvelle inconnue.
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D'accord, merci beaucoup JLapin !
Et j'ai une autre question car un peu plus loin je ne comprends pas l'équivalence que j'ai indiquée en pièce jointe.
Pouvez-vous m'expliquer comment obtient-on :
$x(t)=x(0)\exp(\lambda_1)t$$y(t)=y(0)\exp(\lambda_2)t$Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée à vous
Cordialement. -
C'est du cours de base sur les équations différentielles (équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants). La constante est obtenue en utilisant x(t)=x(0) lorsque t=0.
Cordialement. -
Pouvez-vous me montrer le lien de la propriété en question s'il vous plaît ? Car je ne la retrouve pas dans mon cours.
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Il suffit de taper équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sur un moteur de recherche, et tu tombes sur la page Wikipédia. La partie "équation différentielle linéaire homogène" répond à ton besoin.Mais on trouve ça dans n'importe quel cours de BTS, d'IUT, de L1. Ça se voyait d'ailleurs en fin de lycée naguère.
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D'accord merci beaucoup Gérard0 ! Et juste autre petite question un peu plus loin on a un dénominateur avec lambda 1 mais seulement je me demandais: comment peut-on savoir qu'on peut avoir lambda 1 au dénominateur ? On ne connaît pas sa valeur ? Et donc on ne peut pas écrire cela dans la mesure où lambda 1 peu valoir 0 ? Comment sait-on que lambda 1 est différent de 0 ?
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Pas très compliqué de calculer explicitement le produit d'une matrice quelconque et d'une matrice diagonale et de constater qu'il n'y a aucune raison que ça commute.
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Oui pardon Héhéhé vous avez raison en effet je me suis rendu compte de mon erreur. Mais désormais j'ai une autre question : un peu plus loin on a un dénominateur avec lambda 1 mais seulement je me demandais: comment peut-on savoir qu'on peut avoir lambda 1 au dénominateur ? On ne connaît pas sa valeur ? Et donc on ne peut pas écrire cela dans la mesure où lambda 1 peu valoir 0 ? Comment sait-on que lambda 1 est différent de 0 ?
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Difficile de dire, avec le fouillis de documents que tu nous présentes. Cependant, si $\lambda_1=0$, alors $x(t)$ est une constante et dont t n'en dépend plus.Tu aurais un énoncé propre et complet, on pourrait chercher. mais tu peux chercher, toi aussi ...
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si les matrices diagonales commutaient on aurait alors avec les changements de base P matrice de passage PDP^-1= DPP^-1=D
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C'est vrai que ça simplifierait la théorie de la réduction !
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Celle-ci est d'ailleurs assez simple lorsque les matrices sont carrées de taille 1
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Bonjour!
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