Intégrale à paramètre

Bonjour à toi,

après avoir utilisé le théorème de dérivabilité sous le signe intégral pour justifier du caractère $C^1$ de $I$, on a : $I'(x)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (\cos(t)-e^{-t})e^{-xt} \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t-\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-(x+1)t} \, \mathrm{d}t$. Ce qui se calcule en écrivant : $\cos(t)=Re(e^{it})$ pour le premier terme et on connaît bien une primitive de $t \longmapsto e^{-(x+1)t} $ sur $[0;+\infty[$ pour le second terme.

Oui je suis d'accord avec JLapin, montre nous ce que tu as trouvé et regarde la limite de $I(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ !  

Pour ma méthode, je remplace $\cos(t)$ par $Re(e^{it})$ donc $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} Re(e^{it})e^{-xt}\, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} Re(e^{(i-x)t}) \, \mathrm{d}t$ (en effet, $e^{-xt}$ est réel donc je peux le "rentrer" dans la partie réelle).

Ensuite, $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=Re(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{(i-x)t} \, \mathrm{d}t)$ (l'intégrale de la partie réelle est la partie réelle de l'intégrale).

Donc $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=Re(\left [\dfrac{e^{(i-x)t}}{i-x} \right ]_{0}^{+\infty})=\left [Re(\dfrac{e^{(i-x)t}}{i-x}) \right ]_{0}^{+\infty}$ puis je conclus en multipliant par le conjugué du dénominateur et en sortant tout ce qui est réel de la partie réelle . 

Cela demande une certaine dextérité oui, au final, ta double IPP est peut-être plus simple ! ^^'