Approximation rationnelle de la racine carrée d’un rationnel
Bonjour
Est-ce qu’il y aurait une meilleure approximation rationnelle de la racine carrée d’un rationnel ?
Est-ce qu’il y aurait une meilleure approximation rationnelle de la racine carrée d’un rationnel ?
Merci d’avance.
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Réponses
Ludwig : on dirait bien en regardant les 5 premières valeurs x1, x2, x3, x4 et x5.
Bien cordialement.
kolotoko
Il y a sans aucun doute le même genre de formules pour la racine carrée d'un rationnel quelconque et cela montre à quel point la méthode de Héron est efficace pour approcher une telle racine.
Mais ici en fait ce n'est pas pour calculer $\sqrt 2$, c'est pour prouver que $x_n=r_{2^n}$.
On two sequences of algorithms for approximating square roots, A. K. Yeyios, 1991.
La méthode de Héron est d'ordre $2$. Yeyios montre qu'on peut construire des méthodes itératives d'ordre $k$, pour n'importe quel entier $k$. Il semblerait que l'idée de la méthode revienne à un certain M. A. Grant (Approximating square roots, Math. Gaz. Note 66.36 (1982). Si quelqu'un débusque cet article je suis preneur.
Voir aussi K. R. Johnson, An iterative method for approximating square roots, Math. Mag. 62 (1989). La lecture est possible en ligne à condition de se créer un compte. On pourrait télécharger directement le pdf ?
Voici ce que cela donne pour l'ordre $4$ et pour le calcul de la racine carrée de $2$. On prend $x_0=1$ puis : $$x_{n+1}=\frac{{x_n}^4+12{x_n}^2+4}{4x_n({x_n}^2+2)}.$$ On obtient : $x_1=17/12$, $x_2=665857/470832$, $x_3=\frac{1572584048032918633353217}{1111984844349868137938112}$, respectivement les réduites de rang $4$, $4^2$ et $4^3$. Si je ne me suis pas trompé, douze multiplications, neuf additions et trois divisions suffisent pour calculer $x_3$, nombre qui approxime $\sqrt {2}$ à moins de $3\times 10^{-49}$ près.
On peut demander à un logiciel de déterminer ces premières fractions, le tableur de GeoGebra le fait sans problème. Pour $N=2$ j'ai constaté que l'écriture développée des numérateurs et dénominateurs ne comporte que des entiers produits de nombres premiers inférieurs ou égaux à $k$. Exemple pour $k=12$ : $$P_{12}(x)=x^{12} + 132 \; x^{10} + 1980 \; x^{8} + 7392 \; x^{6} + 7920 \; x^{4} + 2112 \; x^{2} + 64,\\ Q_{12}(x)=12 \; x^{11} + 440 \; x^{9} + 3168 \; x^{7} + 6336 \; x^{5} + 3520 \; x^{3} + 384 \; x.$$ On pourrait le démontrer par récurrence ? Je ne vois pas comment faire. Et que ce soit vrai en général me paraît assez douteux..
Quand on applique la méthode de Newton à $f\left(x\right)=x^2-a^2$, l'itératrice est la petite fonction rationnelle $\varphi\left(x\right)=1/2\left(x+a^2/x\right)$ : il faut $u_n$ et $1/u_n$ pour calculer $u_{n+1}$. Quand on applique la méthode de Newton à $g\left(x\right)=1/a^2-1/x^2$, l'itératrice est un petit polynôme de degré 3.