Méthode de variation de la constante pour une ED d'ordre 2
Bonjour
Un point m'échappe :
lorsqu'on a une ED de la forme : a(t)y"(t)+b(t)y'(t)+c(t)y(t) = d(t) et qu'on connait un système fondamental (y1,y2) de solutions de l'équation homogène associée à cette ED, pourquoi lorsqu'on cherche les solutions de cette ED sous la forme : y(t)=k(t)y1(t)+l(t)y2(t), on impose d'avoir :
k'(t)y1(t) + l'(t)y2(t) =0 et k'(t)y1'(t)+l'(t)y2'(t) = d(t) ?
C'est sans doute simple, mais je ne vois pas.
Merci pour votre aide et bonne journée.
Un point m'échappe :
lorsqu'on a une ED de la forme : a(t)y"(t)+b(t)y'(t)+c(t)y(t) = d(t) et qu'on connait un système fondamental (y1,y2) de solutions de l'équation homogène associée à cette ED, pourquoi lorsqu'on cherche les solutions de cette ED sous la forme : y(t)=k(t)y1(t)+l(t)y2(t), on impose d'avoir :
k'(t)y1(t) + l'(t)y2(t) =0 et k'(t)y1'(t)+l'(t)y2'(t) = d(t) ?
C'est sans doute simple, mais je ne vois pas.
Merci pour votre aide et bonne journée.
Réponses
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Ce n'est pas imposé. On montre que si ce système est vérifié alors y(t) est bien une solution particulière et c'est que tu cherches non.
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Bonjour,
pourquoi pose-t-on $x=u+v$ avec $3uv=-p$ dans la méthode de Cardan ? Réponse : parce que quelqu'un (au hasard : Tartaglia) a eu cette idée et que cela marche. Ici, c'est pareil !
Cela dit, on peut relier la méthode des constantes à ce qui suit : on peut (artificiellement) abaisser l'ordre de l'EDO en posant un système. Plus précisément $y'=z$ et $z'=-cy-bz+d$ (j'ai pris $a=1$) ; or, la méthode de variation des constantes avec ces notations conduit justement à faire ce que l'on fait dans le cas scalaire.
Par parenthèse : ta seconde équation transformée est $...=d/a$ et non pas $...=d$. De toute façon, si $a$ s'annule, les thm généraux ne s'appliquent plus. -
Non, c'est bien $... = d$. Globalement, cela permet d'arriver à un système $M(x) \begin{pmatrix} k'(x) \\ l'(x)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\d(x)\end{pmatrix}$ où $M(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\y_1'(x) & y_2'(x)\end{pmatrix}$ est facile à évaluer. On peut démontrer assez facilement que le wronskien $W(x) = \det M(x)$ est soit tout le temps nul, soit jamais nul. Cela veut dire que le système est inversible en pratique. On a donc un moyen facile d'obtenir $k'(x), l'(x)$ (donc $k(x)$, $l(x)$) vérifiant ce système. Avec ces fameux $k(x), l(x)$, en posant $y(x) = k(x) y_1(x) + l(x) y_2(x)$, on obtient $$y'' + a y' + b y = \lambda'' y_1 + \mu'' y_2 + 2 (\lambda' y_1' + \mu' y_2') + \lambda (y_1'' + a y_1' + b y_1) + \mu(y_2'' + a y_2' + b y_2) + a (\lambda' y_1 + \mu' y_2) = (\lambda' y_1 + \mu' y_2)' + \lambda' y_1' + \mu' y_2' = d.$$
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Si tu sais faire la MVC en dimension 1, et si tu sais écrire l'équation d'ordre 2 comme un système d'ordre 1, tu auras la réponse à ta question.
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Bibix : il m'est déjà arrivé de me tromper (la dernière fois, c'était d'ailleurs en 1961 ), mais je pense que c'est bien $d/a$. En fait, gauss et toi n'avez pas la même définition du <<coefficient>> $a$.
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Ah oui, au temps pour moi.
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La façon la plus simple de comprendre, c'est de se placer dans un cadre plus général. Une fois n'est pas coutume, j'utiliserais les notations de Newton $\dot{y}$ et $\ddot{y}$ au lieu de $y'$ et $y''$.Pour résoudre l'équation linéaire d'ordre $2$ sous forme résolue de la forme :$$\ddot{y} + a(t)\dot{y} + b(t)y = c(t)$$on se ramène à une équation vectorielle d'ordre $1$ en posant $Y(t)=\begin{pmatrix}y(t) \\ \dot{y}(t)\end{pmatrix}$. Dans ce cas, $Y$ vérifie :$$\dot{Y} + A(t)Y = B(t)$$ en posant $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ b(t) & a(t) \end{pmatrix}$ et $B(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ c(t) \end{pmatrix}$.Voici maintenant le point clef : si on connait un système fondamental de solutions solutions particulières de l'équation homogène, on sait que, pour tout $t$, les vecteurs $\begin{pmatrix}y_{1}(t) \\ \dot{y}_{1}(t) \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}y_{2}(t) \\ \dot{y}_{2}(t) \end{pmatrix}$ forment une base de $\mathbb{R}^{2}$ (exercice laissé au lecteur) et on peut décomposer $Y(t)$ dans cette base :$$Y(t) = k(t)\begin{pmatrix}y_{1}(t) \\ \dot{y}_{1}(t) \end{pmatrix} + \ell(t)\begin{pmatrix}y_{2}(t) \\ \dot{y}_{2}(t) \end{pmatrix}$$
Sachant que $y_{1}$ et $y_{2}$ sont solutions de l'équation homogène, l'équation différentielle $\dot{Y} + A(t)Y = B(t)$ se réécrit alors :$$ W(t) \begin{pmatrix} \dot{k} \\ \dot{\ell} \end{pmatrix} = B(t) $$en notant $W(t) = \begin{pmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t) \\ \dot{y}_{1}(t) & \dot{y}_{2}(t) \end{pmatrix}$ la matrice Wronskienne, et voilà.
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