Théorème d'Abott Gonia

$\def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\stei{\mathrm{ST}} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\simdoteq{\stackrel{.}{\simeq}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\isog{\operatorname{isogon}} \def\pivk{p\mathcal{K}} \def\acev#1{#1_{A}#1_{B}#1_{C}} \def\ceva#1{A_{#1}B_{#1}C_{#1}} \def\OT#1{\mathfrak{O}\left(#1\right)}$Bonjour

Rapportons le plan au triangle $ABC$ et considérons le point $P\simeq p:q:r$. Son triangle de Steiner est formé des réflexions de $P$ par rapport aux côtés du triangle. On rappelle que $\Sa\doteq\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)/2\etc$. Faisant les calculs, on obtient: \[ \stei\left(P\right)\simeq\left[\begin{array}{ccc} -p & p+\dfrac{2\,\Sc\,q}{b^{2}} & p+\dfrac{2\,\Sb\,r}{c^{2}}\\ \dfrac{2\,\Sc\,p}{a^{2}}+q & -q & q+\dfrac{2\,\Sa\,r}{c^{2}}\\ \dfrac{2\,\Sb\,p}{a^{2}}+r & \dfrac{2\,\Sa\,q}{b^{2}}+r & -r \end{array}\right] \] Comme il se doit, les colonnes représentant les trois sommets ont été synchronisées. Et donc, on peut vérifier que $\linf\simdoteq\left[1,1,,1\right]$ est une ligne propre de $\stei$ (avec $\lambda=p+q+r$). On a:

$\det\stei\left(P\right)=R^{2}\,\left(p+q+r\right)\,\left(a^{2}qr+b^{2}pr+c^{2}pq\right)$: c'est le théorème de Steiner.

$\stei\left(P\right).\isog\left(P\right)\simeq P$.

Le centre circonscrit de $\stei\left(P\right)$ est $\isog\left(P\right)$, et son rayon est \[ \rho_{\stei}=\dfrac{\sqrt{\prod\left(b^{2}r^{2}+c^{2}q^{2}+2\,\Sa\,rq\right)}}{\left(p+q+r\right)\left(a^{2}qr+b^{2}pr+c^{2}pq\right)} \]

Et maintenant, une chasse aux perspecteurs.

$\stei\left(P\right)$ est en perspective avec $ABC$ lorsque $P\in\pivk$$\left(X_{6},X_{30}\right)$, la cubique de Neuberg.

$\stei\left(P\right)$ est en perspective avec $\ceva P$, le triangle cévien de $P$, lorsque $P\in\pivk$$\left(X_{1989},X_{265}\right)$, the O(X5) orthopivotal cubic. Voir https://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k060.html

$\stei\left(P\right)$ est toujours en perspective avec $\acev P$, le triangle anti-cévien de $P$. Le perspecteur est: \[ \mathrm{hP}=\left(\begin{array}{c} p\left(-\Sa\,p+\Sb\,q+\Sc\,r\right)\\ q\left(+\Sa\,p-\Sb\,q+\Sc\,r\right)\\ r\left(+\Sa\,p+\Sb\,q-\Sc\,r\right) \end{array}\right) \] On est en présence d'une transformation de Cremona, du second degré et qui est involutive. Ses points fixes sont les pieds des hauteurs et $H$ fait partie de ses points fixes. Comme $H$ est le centre inscrit du triangle orthique, on en conclut que $\mathrm{hP}$ est l'isogonal de $P$ par rapport au triangle orthique.

Par définition, le triangle de l'Abbé Gonia est le triangle des réflexions du point $P$ par rapport aux cotés de $\stei\left(P\right)$, le triangle de Steiner de $P$. Alors, ce triangle est en perspective avec $ABC$, le triangle de référence. Et c'est ce perspecteur qui est le "Orion transform of $P$" . \[ \OT P\simdoteq\left(\begin{array}{c} \left(b^{2}r^{2}+c^{2}q^{2}+2\,\Sa\,qr\right)p^{3}-a^{2}pq^{2}r^{2}\\ \left(a^{2}r^{2}+c^{2}p^{2}+2\,\Sb\,pr\right)q^{3}-b^{2}p^{2}qr^{2}\\ \left(a^{2}q^{2}+b^{2}p^{2}+2\,\Sc\,pq\right)r^{3}-c^{2}p^{2}q^{2}r \end{array}\right) \]

Des exemples numériques montrent que " assez souvent" un point Orion possède trois antécédents.

Cordialement, Pierre.