Méthode de variation de la constante pour une ED d'ordre 2

Réponses

• Boécien

  March 2023 Modifié (March 2023)

  Ce n'est pas imposé. On montre que si ce système est vérifié alors y(t) est bien une solution particulière et c'est que tu cherches non.
  
• john_john

  March 2023 Modifié (March 2023)

  Bonjour,
  pourquoi pose-t-on $x=u+v$ avec $3uv=-p$ dans la méthode de Cardan ? Réponse : parce que quelqu'un (au hasard : Tartaglia) a eu  cette idée et que cela marche. Ici, c'est pareil !
  Cela dit, on peut relier la méthode des constantes à ce qui suit : on peut (artificiellement) abaisser l'ordre de l'EDO en posant un système. Plus précisément $y'=z$ et $z'=-cy-bz+d$ (j'ai pris $a=1$) ; or, la méthode de variation des constantes avec ces notations conduit justement à faire ce que l'on fait dans le cas scalaire.
  
  Par parenthèse : ta seconde équation transformée est $...=d/a$ et non pas $...=d$. De toute façon, si $a$ s'annule, les thm généraux ne s'appliquent plus.
• Bibix

  March 2023 Modifié (March 2023)

  Non, c'est bien $... = d$. Globalement, cela permet d'arriver à un système $M(x) \begin{pmatrix} k'(x) \\ l'(x)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\d(x)\end{pmatrix}$ où $M(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\y_1'(x) & y_2'(x)\end{pmatrix}$ est facile à évaluer. On peut démontrer assez facilement que le wronskien $W(x) = \det M(x)$ est soit tout le temps nul, soit jamais nul. Cela veut dire que le système est inversible en pratique. On a donc un moyen facile d'obtenir $k'(x), l'(x)$ (donc $k(x)$, $l(x)$) vérifiant ce système. Avec ces fameux $k(x), l(x)$, en posant $y(x) = k(x) y_1(x) + l(x) y_2(x)$, on obtient $$y'' + a y' + b y = \lambda'' y_1 + \mu'' y_2 + 2 (\lambda' y_1' + \mu' y_2') + \lambda (y_1'' + a y_1' + b y_1) + \mu(y_2'' + a y_2' + b y_2) + a (\lambda' y_1 + \mu' y_2) = (\lambda' y_1 + \mu' y_2)' + \lambda' y_1' + \mu' y_2' = d.$$
• math2

  March 2023

  Si tu sais faire la MVC en dimension 1, et si tu sais écrire l'équation d'ordre 2 comme un système d'ordre 1, tu auras la réponse à ta question.
• john_john

  March 2023

  Bibix : il m'est déjà arrivé de me tromper (la dernière fois, c'était d'ailleurs en 1961 ), mais je pense que c'est bien $d/a$. En fait, gauss et toi n'avez pas la même définition du <<coefficient>> $a$.
• Bibix

  March 2023

  Ah oui, au temps pour moi.
• Benoit RIVET

  March 2023

  La façon la plus simple de comprendre, c'est de se placer dans un cadre plus général. Une fois n'est pas coutume, j'utiliserais les notations de Newton $\dot{y}$ et $\ddot{y}$ au lieu de $y'$ et $y''$.

  Pour résoudre l'équation linéaire d'ordre $2$ sous forme résolue de la forme :

  $$\ddot{y} + a(t)\dot{y} + b(t)y = c(t)$$

  on se ramène à une équation vectorielle d'ordre $1$ en posant $Y(t)=\begin{pmatrix}y(t) \\ \dot{y}(t)\end{pmatrix}$. Dans ce cas, $Y$ vérifie :

  $$\dot{Y} + A(t)Y = B(t)$$ en posant $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ b(t) & a(t) \end{pmatrix}$ et $B(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ c(t) \end{pmatrix}$.

  Voici maintenant le point clef : si on connait un système fondamental de solutions solutions particulières de l'équation homogène, on sait que, pour tout $t$, les vecteurs $\begin{pmatrix}y_{1}(t) \\ \dot{y}_{1}(t) \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}y_{2}(t) \\ \dot{y}_{2}(t) \end{pmatrix}$ forment une base de $\mathbb{R}^{2}$ (exercice laissé au lecteur) et on peut décomposer $Y(t)$ dans cette base :

  $$Y(t) = k(t)\begin{pmatrix}y_{1}(t) \\ \dot{y}_{1}(t) \end{pmatrix} + \ell(t)\begin{pmatrix}y_{2}(t) \\ \dot{y}_{2}(t) \end{pmatrix}$$
  Sachant que $y_{1}$ et $y_{2}$ sont solutions de l'équation homogène, l'équation différentielle $\dot{Y} + A(t)Y = B(t)$ se réécrit alors :

  $$ W(t) \begin{pmatrix} \dot{k} \\ \dot{\ell} \end{pmatrix} = B(t) $$

  en notant $W(t) = \begin{pmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t) \\ \dot{y}_{1}(t) & \dot{y}_{2}(t) \end{pmatrix}$ la matrice Wronskienne, et voilà.