Équation avec exponentielles complexes
Bonjour,
J'ai à résoudre l'équation suivante, où $x,y,z$ sont des réels :
$ e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0$
J'ai trouvé la forme de certaines solutions sous forme de triplets de réels :
$ \left\{ (x + 2k\pi,\ x+\frac{2\pi}{3} + 2 l \pi ,\ x + \frac{4\pi}{3} + 2 m \pi) \right\}, \ x \in \mathbb{R}$ et $k,l,m \in\mathbb{Z}$
Mais comment être sûr qu'il n'y en a pas d'autres ?
Merci.
A.
$ \left\{ (x + 2k\pi,\ x+\frac{2\pi}{3} + 2 l \pi ,\ x + \frac{4\pi}{3} + 2 m \pi) \right\}, \ x \in \mathbb{R}$ et $k,l,m \in\mathbb{Z}$
Mais comment être sûr qu'il n'y en a pas d'autres ?
Merci.
A.
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Réponses
Pour les relations coefficients racine quel polynôme tu introduis ?
Merci, joli
$P=(X-a)(X-b)(X-c) = X^3 - (a+b+c) X^2+ (ab +bc+cb) X - abc = X^3 -abc$.
$P(X)=X^3 - k$ avec $k=abc \in \C^{*}$.
Avec $P(a)=P(b)=P(c)=0$. On a $a^3=b^3=c^3=k$.
Or $abc=e^{ i(x+y+y)}$ on a $a,b,c \in \{ \exp \left( i (\dfrac{ x+y+z}{3} + \dfrac{2k \pi}{3} ) \right) \ | \ k \in [|0,2 |] \}$
$\boxed{a,b,c \in \big\{ \exp \left( i \big(\dfrac{ x+y+z}{3} \big) \right) , \ \exp \left( i \big(\dfrac{ x+y+z}{3} + \dfrac{2 \pi}{3}\big) \right) ,\ \exp \left( i \big(\dfrac{ x+y+z}{3} \big) + \dfrac{4 \pi}{3} ) \right) \big\} }$
Mais après on fait quoi ?
Donc $y-x = 2q \pi$ ou $y-x= 2 \pi /3 + 2q \pi$ ou $y-x=4 \pi /3 + 2q \pi$ avec $q \in \Z$.
Tu as encore frappé fort ! On a ici une petit exercice de lycée...
Fr. Ch.
16/03/2023
Merci mais je préfère la solution de @Epsilon maths mais je bute sur la dernière étape.
$a,b,c$ sont racines de $P(X)=X^3-k$ où $k=abc$ et en notant $k=e^{i \alpha}$ on trouve $a=e^{i \alpha /3}$ , $b=j a$ et $c=j^2 a$.
Comment on en déduit les solutions à partir de là ? C'est ici que je m'embrouille.
Comment savoir que $x$ est fixé ?
Soit $s$ la symétrie de centre $O(0)$, $B'=s(B)$, $C'=s(C)$ et $D'=s(D)$.
On a $\dfrac{A+B}2=\dfrac{C'+D'}2$.
Donc $A=C'$ ou $A=D'$ ou $AC'BD'$ est un parallélogramme inscrit dans le cercle-unité donc $A=B'$.
Dans tous les cas, $A,B,C,D$ sont les quatre sommets d'un rectangle.
D'accord finalement c'est bon, les solutions sont : $x,y=x+\dfrac{\pi}{3} + 2 k_1 \pi,z=x+ \dfrac{4 \pi}{3}+2 k_2 \pi$ avec $(k_1,k_2) \in \Z^2$ et $x \in \R$ à une permutation près.
La méthode avec les polynômes est très intéressante, lors d'un oral je pense que cette méthode serait valorisée par le jury car on fait le lien entre les complexes et les polynômes, les racines etc.
Et ce produit est nul ssi le 2ème facteur.
On a bien avancé, on n'a plus que 2 inconnues qui sont $y'=y-x$ et $z'=z-x$
Un lycéen qui est là pour apprendre et pas pour tuer le temps n'aura pas de mal à conclure.
Ok merci
La méthode polynomiale est plus élégante.
Si $A(e^{ix}),B(e^{iy})$ et $C(e^{iy})$, alors le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit de $ABC$ sont confondus en $O$ donc $ABC$ est équilatéral.
Et c'est fini sans aucun calcul !
Ah ! Quand même ! Il y a quelqu'un qui voit l'évidence !!...
Cordialement,
Rescassol
Cela m'a rappelé ceci en pièce jointe.