Méthode de variation de la constante pour une ED d'ordre 2
Bonjour
Un point m'échappe :
lorsqu'on a une ED de la forme : a(t)y"(t)+b(t)y'(t)+c(t)y(t) = d(t) et qu'on connait un système fondamental (y1,y2) de solutions de l'équation homogène associée à cette ED, pourquoi lorsqu'on cherche les solutions de cette ED sous la forme : y(t)=k(t)y1(t)+l(t)y2(t), on impose d'avoir :
k'(t)y1(t) + l'(t)y2(t) =0 et k'(t)y1'(t)+l'(t)y2'(t) = d(t) ?
C'est sans doute simple, mais je ne vois pas.
Merci pour votre aide et bonne journée.
Un point m'échappe :
lorsqu'on a une ED de la forme : a(t)y"(t)+b(t)y'(t)+c(t)y(t) = d(t) et qu'on connait un système fondamental (y1,y2) de solutions de l'équation homogène associée à cette ED, pourquoi lorsqu'on cherche les solutions de cette ED sous la forme : y(t)=k(t)y1(t)+l(t)y2(t), on impose d'avoir :
k'(t)y1(t) + l'(t)y2(t) =0 et k'(t)y1'(t)+l'(t)y2'(t) = d(t) ?
C'est sans doute simple, mais je ne vois pas.
Merci pour votre aide et bonne journée.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
pourquoi pose-t-on $x=u+v$ avec $3uv=-p$ dans la méthode de Cardan ? Réponse : parce que quelqu'un (au hasard : Tartaglia) a eu cette idée et que cela marche. Ici, c'est pareil !
Cela dit, on peut relier la méthode des constantes à ce qui suit : on peut (artificiellement) abaisser l'ordre de l'EDO en posant un système. Plus précisément $y'=z$ et $z'=-cy-bz+d$ (j'ai pris $a=1$) ; or, la méthode de variation des constantes avec ces notations conduit justement à faire ce que l'on fait dans le cas scalaire.
Par parenthèse : ta seconde équation transformée est $...=d/a$ et non pas $...=d$. De toute façon, si $a$ s'annule, les thm généraux ne s'appliquent plus.
Sachant que $y_{1}$ et $y_{2}$ sont solutions de l'équation homogène, l'équation différentielle $\dot{Y} + A(t)Y = B(t)$ se réécrit alors :