Hauteur d'un idéal

Bonjour
Soit $A$ un anneau commutatif. Pour un idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$, on définit sa hauteur comme étant le sup des $n$ entiers tels qu'il existe une suite d'inclusions strictes $\mathfrak{p}_{n} \subset \dots\subset \mathfrak{p}_{0}$, où $\mathfrak{p}_{0}$ est inclus dans $\mathfrak{p}$. Pour un idéal $I$ quelconque, on définit sa hauteur comme étant l'inf des hauteurs des idéaux premiers qui le contiennent.

Le problème : on suppose $A$ noethérien. Étant donné un idéal $I$ de hauteur $r$, je cherche à construire un idéal $J \subset I$ de hauteur $r$ tel que $I$ soit de hauteur nulle vu dans l'anneau quotient $A/J$.

Tentative. Puisque $I$ est de hauteur $r$, il existe $\mathfrak{p}$ de hauteur $r$ tel que $I \subset \mathfrak{p}$. On a donc une suite $\mathfrak{p}_{r} \subset \dots \subset \mathfrak{p}_{0} \subset \mathfrak{p}$, où toutes les inclusions sauf la dernière sont strictes. Puisque $I$ est de hauteur $r$, aucun des $\mathfrak{p}_{i}$ ne contient $I$. Soit donc $x_{i}^{\mathfrak{p}} \in I - \mathfrak{p}_{i}$. Notons $J \subset I$ l'idéal engendré par les $x_{i}^{\mathfrak{p}}$. Je ne sais pas quoi faire ensuite.

Une remarque : comme $A$ est noethérien, il n'y a qu'un nombre fini de $\mathfrak{p}$ comme ci-dessus (ce sont les idéaux premiers minimaux de $A/I$ qui est noethérien). Peut-être faut-il donc considérer $y_{i} := $ le produit des $x_{i}^{\mathfrak{p}}$ et prendre $J$ engendré par les $y_{i}$ ?
Par avance merci.