Intégrale à paramètre
Réponses
-
Bonjour à toi,après avoir utilisé le théorème de dérivabilité sous le signe intégral pour justifier du caractère $C^1$ de $I$, on a : $I'(x)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (\cos(t)-e^{-t})e^{-xt} \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t-\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-(x+1)t} \, \mathrm{d}t$. Ce qui se calcule en écrivant : $\cos(t)=Re(e^{it})$ pour le premier terme et on connaît bien une primitive de $t \longmapsto e^{-(x+1)t} $ sur $[0;+\infty[$ pour le second terme.
-
Pour trouver cette constante, tu peux étudier $I(x)$ quand $x$ tends vers $+\infty$.
-
NicoLeProfMerci bien , j’ai fait les calculs nécessaires et j’ai trouver une primitive ça reste qu’à déterminer la constante C c’est là où je bloque ..[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
-
JLapin
Oui j’ai remarqué que c’est 0 mais après ?[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD] -
NicoLeProf
Merci bien , j’ai fait les calculs nécessaires et j’ai trouver une primitive ( je me suis contenté d’une double IPP pour trouver le résultat. mais sinon comment manipuler dans votre méthode le premier terme ? c’est intriguant comme méthode ! )Par ailleurs ça reste qu’à déterminer la constante C c’est là où je bloque .. -
Montre où tu en es...
-
Bethebesteveryday a dit :
mais sinon comment manipuler dans votre méthode le premier terme ? c’est intriguant comme méthode ! )Oui je suis d'accord avec JLapin, montre nous ce que tu as trouvé et regarde la limite de $I(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ !Pour ma méthode, je remplace $\cos(t)$ par $Re(e^{it})$ donc $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} Re(e^{it})e^{-xt}\, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} Re(e^{(i-x)t}) \, \mathrm{d}t$ (en effet, $e^{-xt}$ est réel donc je peux le "rentrer" dans la partie réelle).Ensuite, $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=Re(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{(i-x)t} \, \mathrm{d}t)$ (l'intégrale de la partie réelle est la partie réelle de l'intégrale).Donc $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=Re(\left [\dfrac{e^{(i-x)t}}{i-x} \right ]_{0}^{+\infty})=\left [Re(\dfrac{e^{(i-x)t}}{i-x}) \right ]_{0}^{+\infty}$ puis je conclus en multipliant par le conjugué du dénominateur et en sortant tout ce qui est réel de la partie réelle .Cela demande une certaine dextérité oui, au final, ta double IPP est peut-être plus simple ! ^^' -
-
JLapin a dit. Montre où tu en es...
-
Passe à la limite en $+\infty$.
-
JLapin
C’est 0 donc C=0 ?
-
Pourquoi ce point d'interrogation ? Tu as un doute sur quoi en fait ?
-
JLapinNormalement c’est 0 mais je sais pas prq [pourquoi ?] ce n’était pas suffisant pour moi ..[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres