Hauteur d'un idéal
Bonjour
Soit $A$ un anneau commutatif. Pour un idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$, on définit sa hauteur comme étant le sup des $n$ entiers tels qu'il existe une suite d'inclusions strictes $\mathfrak{p}_{n} \subset \dots\subset \mathfrak{p}_{0}$, où $\mathfrak{p}_{0}$ est inclus dans $\mathfrak{p}$. Pour un idéal $I$ quelconque, on définit sa hauteur comme étant l'inf des hauteurs des idéaux premiers qui le contiennent.
Soit $A$ un anneau commutatif. Pour un idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$, on définit sa hauteur comme étant le sup des $n$ entiers tels qu'il existe une suite d'inclusions strictes $\mathfrak{p}_{n} \subset \dots\subset \mathfrak{p}_{0}$, où $\mathfrak{p}_{0}$ est inclus dans $\mathfrak{p}$. Pour un idéal $I$ quelconque, on définit sa hauteur comme étant l'inf des hauteurs des idéaux premiers qui le contiennent.
Le problème : on suppose $A$ noethérien. Étant donné un idéal $I$ de hauteur $r$, je cherche à construire un idéal $J \subset I$ de hauteur $r$ tel que $I$ soit de hauteur nulle vu dans l'anneau quotient $A/J$.
Tentative. Puisque $I$ est de hauteur $r$, il existe $\mathfrak{p}$ de hauteur $r$ tel que $I \subset \mathfrak{p}$. On a donc une suite $\mathfrak{p}_{r} \subset \dots \subset \mathfrak{p}_{0} \subset \mathfrak{p}$, où toutes les inclusions sauf la dernière sont strictes. Puisque $I$ est de hauteur $r$, aucun des $\mathfrak{p}_{i}$ ne contient $I$. Soit donc $x_{i}^{\mathfrak{p}} \in I - \mathfrak{p}_{i}$. Notons $J \subset I$ l'idéal engendré par les $x_{i}^{\mathfrak{p}}$. Je ne sais pas quoi faire ensuite.
Une remarque : comme $A$ est noethérien, il n'y a qu'un nombre fini de $\mathfrak{p}$ comme ci-dessus (ce sont les idéaux premiers minimaux de $A/I$ qui est noethérien). Peut-être faut-il donc considérer $y_{i} := $ le produit des $x_{i}^{\mathfrak{p}}$ et prendre $J$ engendré par les $y_{i}$ ?
Par avance merci.
Par avance merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Merci de ta réponse. Je me rends compte que j'ai oublié le point suivant : j'aimerais choisir $J$ engendré par $r$ éléments. D'ailleurs je ne comprends pas : ton idéal premier, $\mathfrak{p}$ contient $I$ mais on cherche $J$ contenu dans $I$.
Encore pardon pour l'oubli.
Il suffit de prendre $J:=I$ (La hauteur nulle étant atteinte par des idéaux premiers minimaux dans $A/I$).
Merci de ta réponse. Comme j'ai dit dans mon second message, j'ai oublié de rajouter qu'on cherche $J$ engendré par $r$ éléments (désolé encore de l'oubli). Est-ce possible pour le coup ?