Une droite particulière passant par I, une droite limite, des triangles en perspective ...

Bonsoir à tous,

Soit un triangle ABC (avec AB < BC < CA), un point P strictement intérieur à ce triangle, et les perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du triangle. Chacune de ces trois droites coupe aussi les deux droites portant les côtés auxquels elle n'est pas perpendiculaire, en des points appelés Ae, Ai, Be, Bi, Ce, Ci ("e" pour extérieur,"i" pour intérieur, voir la première figure jointe). Parmi les douze droites reliant l'un de ces points à l'un des sommets du triangle, il y en a six qui ne sont pas confondues avec celles portant les côtés du triangle, soit les droites ABi, ACe, BAi, BCi, CAe et CBe. Parmi leurs points d'intersection deux à deux, se distinguent ceux de CBe et BCi, de CAe et ACe, et de ABi et BAi, alignés avec P quand celui-ci est en fait I, le centre du cercle inscrit dans ABC. Et dans le cas où P est presque confondu avec H, l'orthocentre, bien entendu les six points considérés sont presque confondus avec les sommets du triangle, mais il semble que les trois points d'intersection soient presque alignés sur une droite limite (troisième figure, obtenue "à la souris") ...

  

(sur cette figure, les droites mauves servent à vérifier que ce cas est différent de celui où P se confond avec O, voir plus bas)

Mais le cas le plus intéressant (parmi ceux que j'ai envisagés jusqu'à présent) est celui des médiatrices :  non seulement les trois points d'intersection mentionnés plus haut s'alignent sur une droite passant par le centre O du cercle circonscrit, mais les neuf autres points d'intersection s'organisent en trois triplets de points, relativement situés au voisinage de l'un des trois sommets, et les centres des trois cercles passant par ces triplets de points forment un triangle qui est en perspective avec ABC, le centre de perspective n'étant autre que O ...

Permettez-moi de trouver tout ceci assez fascinant, notamment cette dernière figure ...

Bien cordialement, JLB