Sujets agrégation externe 2023

oblomov
oblomov
Modifié (May 2023) dans Concours et Examens
Bonjour
Les heureux candidats pourraient-ils poster une photo de leurs sujets ?
Merci beaucoup !
Mots clés:
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Réponses

  • Isometric
    Isometric
    Le voici. Désolé pour la qualité parfois douteuse, je l'ai fait avec la caméra de mon téléphone, quelqu'un postera peut-être une meilleur version plus tard
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Voici une autre version, de qualité différente.
  • quasicercle
    quasicercle
    Modifié (March 2023)
    Bonsoir
    Pour changer des photos, j'ai fait un scan du sujet que l'on m'a distribué ce matin. J'ai fait de mon mieux pour que ce soit le plus propre possible, mais la qualité n'est pas parfaite pour autant. Bon courage à ceux qui souhaitent le travailler !
  • bisam
    bisam
    J'aime beaucoup l'indication de la question 29. J'imagine que tout candidat arrivé jusque là aura bien sûr profité du conseil B)
  • Math Coss
    Math Coss
    Ce sont les polynômes de Hall ou je n'ai pas les yeux en face des trous ?
  • Grenouille factorielle
    Grenouille factorielle
    Bon courage à tous mes camarades agrégatifs ! :)
  • LeVioloniste
    LeVioloniste
    Modifié (March 2023)
    L'impression donnée depuis quelques années est que les connaissances de niveau L3 ne semblent presque plus exigées.
    Peut-on faire ce problème seulement avec un niveau de classe prépa ? On dirait que oui.
    Ensuite les diagrammes de Ferrers ça ne me parle pas, j'ai plutôt en souvenir les tableaux de Young qui donnent des informations sur les itérées des noyaux d'une matrice.
    Qu'en pensez-vous ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (March 2023)
    Diagrammes de Young et diagrammes de Ferrers sont deux mots pour parler de la même chose. On parle de tableau de Young quand les « cases » sont remplies ; autrement dit, un tableau de Young est une application d'un diagramme vers $\N$ satisfaisant à telle ou telle contrainte (il y a plusieurs variantes).
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (March 2023)
    LeVioloniste a dit :
    Peut-on faire ce problème seulement avec un niveau de classe prépa ? On dirait que oui.
    Probablement une partie mais pas la totalité, loin de là. Par exemple, les actions de groupe et les espaces quotients ne sont pas au programme.
  • Tuvasbien
    Tuvasbien
    Bonjour, est-ce qu'une âme charitable peut envoyer le sujet d'aujourd'hui ?
  • OShine
    OShine
    Modifié (March 2023)
    LeVioloniste a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415459/#Comment_2415459
    Il y a quand même des quotients d'espace vectoriel, des actions de groupe, ce sujet dépasse largement le niveau prépa. Ce sujet semble compliqué. 
    Je suis d'accord avec @JLapin.
  • Amédé
    Amédé
    J'attend avec impatience le corrigé par @OShine :pensive:
  • OShine
    OShine
    Modifié (March 2023)
    bisam a dit :
    J'aime beaucoup l'indication de la question 29. J'imagine que tout candidat arrivé jusque là aura bien sûr profité du conseil B)
    On dirait de la condescendance de la part du concepteur du sujet. 
  • OShine
    OShine
    Amédé a dit :
    J'attend avec impatience le corrigé par @OShine :pensive:
    J'en doute, j'ai lu le sujet il a l'air redoutable  :'( 
    Mais ça m'a motivé à étudier un cours sur les espaces vectoriels quotients et les actions de groupe.
  • pldx1
    pldx1
    OShine a dit: j'ai lu le sujet il a l'air redoutable.
    J'ai lu OShine, je redouterais de l'avoir pour prof.
  • gai requin
    gai requin
    Modifié (March 2023)
    Tu exagères @pldx1.
    Vu au bac pour @OShine.
    Il existe deux fonctions numériques $u,v$ dérivables et non constantes sur un intervalle $I$, où $(uv)’=u’v’$.
    Vrai ou faux ?
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Modifié (March 2023)
    OShine a dit :
    J'en doute, j'ai lu le sujet il a l'air redoutable  :'(
    Au contraire, pour un sujet d'agrégation externe, il me paraît plutôt abordable ! ^^' Je regretterais presque de ne pas m'être inscrit aussi à l'externe (Dom serait ravi de lire cela ! ^^' :D )
  • bd2017
    bd2017
    L'exercice 1  m'a l'air abordable. Je vais essayer de le résoudre. Je bloque à la question 1. Qui suis-je?

     
  • OShine
    OShine
    Modifié (March 2023)
    bd2017
     La réponse à la question $1$ est dans le Liret d'ailleurs la preuve est donnée pour tout groupe cyclique d'ordre $n$.
  • OShine
    OShine
    @NicoLeProf
    Il semble beaucoup plus dur que le sujet de l'interne d'algèbre même s'il n'y a que 30 questions, les espaces vectoriels quotients tu maitrises ? 




  • OShine
    OShine
    gai requin a dit :
    Tu exagères @pldx1.
    Vu au bac pour @OShine.
    Il existe deux fonctions numériques $u,v$ dérivables et non constantes sur un intervalle $I$, où $(uv)’=u’v’$.
    Vrai ou faux ?
    Pour l'instant je ne vois pas. Le plus proche que j'ai trouvé c'est $u(x)=e^x$, $v(x)=e^x$ donc $(uv)'(x)=2e^{2x}$ et $u'(x)v'(x)=e^{2x}$


  • Barry
    Barry
    @OShine : Il n'y a absolument pas besoin d'aller jusqu'aux espaces vectoriels quotients pour avoir une bonne note... Faire tout ce qui précède est déjà TRES bien. Personne ne part dans l'optique de faire la totalité des sujets, sauf quelques personnes...(j'ai le sentiment qu'il y en aura cette année, les sujets me paraissent terminables pour les meilleurs)
  • JLT
    JLT
    Modifié (March 2023)
    bd2017 a dit :
    Qui suis-je ?
    bd2017 ?
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    OShine a dit :
    @NicoLeProf
    Il semble beaucoup plus dur que le sujet de l'interne d'algèbre même s'il n'y a que 30 questions, les espaces vectoriels quotients tu maitrises ? 
    Je ne sais pas mais en lisant quelques trucs (sans entrer dans les détails), j'ai l'impression de voir pas mal de questions abordables à chaque exo et à chaque partie... Et oui, pas besoin de tout faire ou d'aller jusqu'aux espaces vectoriels quotients.
  • quasicercle
    quasicercle
    Modifié (March 2023)
    Bonjour,
    Voilà le scan du sujet de l'épreuve d'analyse et probabilités.
    Les deux premières parties peuvent paraître extrêmement faciles, mais il peut y avoir des pièges que l'on ne voit pas forcément avant de commencer à rédiger rigoureusement ses réponses. Du moins, avec mon modeste niveau, c'est ce que j'ai ressenti. Du coup, j'imagine que le démarquage des candidats se fera dans la capacité à remarquer et à contourner ces pièges.
    Ensuite, je n'ai pas vraiment eu le temps de m'attaquer à la partie III, mais ne vous fiez pas à ma performance : je suis plutôt lent.
  • Sato
    Sato
    J’ai compté 69 questions. 

  • OShine
    OShine
    @Barry
    Ok merci pour ton avis. 
  • Barry
    Barry
    Modifié (March 2023)
    @LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus  :D
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Modifié (March 2023)
    Bonjour, @Barry pour la question 4, tu écris le $cos^n$ comme $exp(ln(cos^n))$ et tu utilises l'inégalité de la 1.b multipliée par $-1$ pour majorer par une bonne fonction qui te permettra d'utiliser la convergence dominée. (J'ai n'ai pas vérifié les détails mais je pense que ça marche)
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Pour la question 5 première équivalence tu étudies le quotient, à un moment il faut penser à faire le changement de variable $y=n^{1/2}x$ et tu peux conclure avec ce que tu as trouvé à la question 4. 
  • gai requin
    gai requin
    Les sujets sont déjà à https://agreg.org/index.php?id=archives
  • Azermaths
    Azermaths
    Barry a dit :
    @LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus  :D
    Barry a dit :
    @LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus  :D
    Juste question 2 et convergence dominee
  • Barry
    Barry
    Oui, j'avais testé la convergence dominée mais la domination me posait problème. J'avais pensé à ça @Barjovrille mais je ne suis pas allé plus loin que le bout de mon nez pour cette piste, et ça m'a visiblement desservi dommage !
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Pour la deuxième équivalence grâce à la première équivalence  il suffit d'étudier le quotient $\frac{I(0)}{n^{1/2}W_n}$, tu fais un changement de variable similaire à la première équivalence et tu fais une convergence dominée similaire à la question 4 puis tu conclus par la formule de produit des équivalent.
    Bon Si t'étais bloqué sur la 4 c'est pas évident de faire la 5. 
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    @Barjovrille : pour le 2ème équivalent de la 5 : le premier équivalent donne un équivalent de $W_n$ (cas où $\alpha=0$).
  • jean-louis972
    jean-louis972
    OShine a dit :
    gai requin a dit :
    Tu exagères @pldx1.
    Vu au bac pour @OShine.
    Il existe deux fonctions numériques $u,v$ dérivables et non constantes sur un intervalle $I$, où $(uv)’=u’v’$.
    Vrai ou faux ?
    Pour l'instant je ne vois pas. Le plus proche que j'ai trouvé c'est $u(x)=e^x$, $v(x)=e^x$ donc $(uv)'(x)=2e^{2x}$ et $u'(x)v'(x)=e^{2x}$
    $u(x)=e^{2x}$, $v(x)=e^{2x}$

    $u(x)=ce^{ax}$, $v(x)=de^{bx}$ avec a+b=ab 

    Quelqu'un connait l'ensemble des solutions possibles ?
    Je sèche.

    Sinon pour revenir au sujet : avec un petit niveau spé j'ai rédigé durant 6h arrivant vers la question 15 à la première épreuve et 19 à la seconde. sans doute plein de manque de rigueur je n'ai pas vu les pièges dont vous parlez. Je pense frôler l'admissibilité, ça ferait du bien à mon ego 😁.
  • JLT
    JLT
    Si $w$ est une fonction dérivable dont la dérivée ne s'annule pas, et si $u(x)=w(x)e^x$ et $v=Ce^x\exp\int\frac{w}{w'}\,dx$ alors $(uv)'=u'v'$.
  • gai requin
    gai requin
    Modifié (March 2023)
    De manière générale, soit $u$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un intervalle $I$, où $u'-u$ ne s'annule pas.
    On sait résoudre l'équation différentielle $uv'+u'v=u'v'$ d'inconnue $v$ sur $I$.
    Par exemple, avec $u(x)=x$, on obtient $v(x)=\dfrac{C}{1-x}$ sur $]1,+\infty[$.
  • OShine
    OShine
    @jean-louis972
    Tu n'as pas étudié les fonctions holomorphes et la théorie des distributions ? 

    @gai requin
    Je n'ai jamais vu un cours qui explique ce genre d'équation différentielle où le $x$ est une fonction. Je sais résoudre $y'+a(x)y=b(x)$ où $x$ est défini sur un intervalle $I$ de $\R$. 
    Ici je ne comprends pas comment résoudre cette équation différentielle.

    @JLT
    Je ne comprends pas comment tu trouves la solution. 
    Rien que la vérification m'a pris 2 pages. 
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Modifié (March 2023)
    OShine, cette équation s'écrit : $v'(u-u')+u'v=0$ soit encore en supposant que $u-u'$ ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ considéré : $v'=\left (\dfrac{u'}{u'-u} \right )v$ . On sait résoudre cette équation différentielle sur $I$ et on a : $v(x)=Ce^{\int_{a}^x \frac{u'(t)}{u'(t)-u(t)} \, \mathrm{d}t}$ (je prends $a$ dans $I$, $0$ par exemple si $0$ est dans $I$) .
    En posant $u(t)=w(t)e^t$ comme fait JLT (et c'est ça la question à se poser en fait : comment JLT a eu l'idée de faire cela? Je ne sais pas pour le moment, quoique : $u$ est solution d'une équation différentielle très ressemblante donc on peut se dire qu'il y a du exp derrière...), on retrouve l'expression de $v$ donnée par JLT.
    C'est cohérent avec l'exemple donné par gai requin aussi !
  • gai requin
    gai requin
    Modifié (March 2023)
    @OShine : Toujours le même problème du statut des variables qui t'empêche d'utiliser ton cours qui devient donc inutile.
    En tout cas, l'élève de Terminale qui a l'intuition que la proposition est vraie peut très bien trouver mon exemple avec $u(x)=x$ (fonction non constante pas trop compliquée) puis calculer $v$ à partir de $v'/v$. C'est au programme !
  • OShine
    OShine
    Merci beaucoup @NicoLeProf .
    J'avoue que je suis un peu rouillé en équation différentielle, j'ai fait trop d'algèbre. 
  • OShine
    OShine
    Modifié (March 2023)
    gai requin a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415674/#Comment_2415674
    [Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
    Oui je vois, j'aurais du prendre $u(x)=x$ et continuer pour voir ce qui se passe.
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Merci @Magnéthorax.
  • OShine
    OShine
    Modifié (March 2023)
    Pour l'épreuve d'AP je suis curieux de savoir comment on trouve cette limite dans la question $2$. J'ai lu que les deux premières parties étaient extrêmement faciles, mais je vois rien d'évident dans cette limite. 
    Un DL suffit ? En écrivant $\cos^n ( y / \sqrt{n} )= \exp (n \ln (\cos ( y / \sqrt{n} ) )$ ? 

  • Amédé
    Amédé
    Modifié (March 2023)
    OShine a dit :
    Pour l'épreuve d'AP je suis curieux de savoir comment on trouve cette limite dans la question $2$.
    J'ai réfléchi 15 min je ne trouve rien.
    Tu fais un développement asymptotique.
  • OShine
    OShine
    Modifié (March 2023)
    @Amédé
    Merci en effet c'est facile. 
    On a $\cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} ) =1- \dfrac{y^2}{2n}+ o( \dfrac{y^2}{2n})$ et $\ln(1-u)=-u +o(u)$
    Donc $\ln ( \cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} )  ) = - \dfrac{y^2}{2n}+ o( \dfrac{y^2}{2n})$
    Donc $n \ln ( \cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} )  ) =  -\dfrac{y^2}{2}+ o(1)$ car $o( y^2 /2)= o(1)$. 
    Finalement $\cos^n ( \dfrac{y}{\sqrt{n}}) = \exp (  -\dfrac{y^2}{2}+ o(1) )= \exp( - y^2 /2) \exp ( o(1)) \longrightarrow e^{-y^2 /2}$
  • OShine
    OShine
    AP 1.b c'est la formule de Taylor Lagrange ? A quel ordre ? Je ne vois pas trop comment utiliser cette méthode.
    La deuxième indication est étrange, la première inégalité est simple à montrer avec le inf, la limite en 0 est facile à obtenir avec un DL, et je crois qu'il suffit d'utiliser le théorème de Heine. Mais je ne comprends pas pourquoi ils prennent $]0,1]$ et non pas $[0,\pi/2[$. Pourquoi changer d'intervalle ? 


  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Modifié (March 2023)
    Pour ta première question : formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$ appliquée pour $a=0$ et $b=t$ je dirais.
    Ce qui donne l'existence d'un $c \in ]0;\frac{\pi}{2}[$ tel que : $f(t)=tf'(0)+\dfrac{t^2f''(0)}{2}+\dfrac{t^3f^{(3)}(c)}{3!}$ . Ce qui permet de conclure car $f'(0)=0$, $f''(0)=1$ et  pour tout $t \in [0;\frac{\pi}{2}[$ et comme $c \in ]0;\frac{\pi}{2}[$, $\dfrac{t^3f^{(3)}(c)}{3!} \geq 0$. (Si je ne suis pas allé trop vite ^^)
    Pour la deuxième, je n'y ai pas suffisamment réfléchi pour y apporter une réponse.
  • bisam
    bisam
    Modifié (March 2023)
    La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 donne la réponse immédiatement puisque la dérivée seconde de $f$ est supérieure à 1.
    Quant à la deuxième méthode, elle utilise une minoration grossière sur $[1,\pi/2[$ et la continuité sur un segment pour l'autre morceau... mais il faut d'abord prolonger $t\mapsto f(t)/t^2$ en une fonction continue sur un segment pour l'appliquer... et ça n'aurait pas été possible sur l'intervalle de départ tout entier.
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