Intégrale inégalité mercredi 15 mars 2023

etanche · March 2023

Bonjour
$f$ fonction de $]0;+\infty[$ dans $]0;+\infty[$ continue, $\int_{a}^{b} f(x)dx=5(b-a)$ pour $0<a\leq b$
Montrer que $$\int_{a}^{b} \Big( \frac{5f(x)+3}{f(x)+7} +\frac{6f(x)+4}{f(x)+9}+\frac{7f(x)+5}{f(x)+11} \Big) dx \leq 9(b-a).$$ Merci .

bd2017 · March 2023

Bonjour

@Etanche la constante $9(b-a)$ est-elle optimale ? D'où vient cette constante ?

Sauf erreur $\dfrac{305}{42}(b-a) \approx 7.261(b-a)$ semble mieux convenir .

P.2 · March 2023

Bravo bd2017! Je trouve comme toi. La constante $305/42 $ est la meilleure. En effet soit $X$ une variable aléatoire positive de moyenne 5. Soit $h$ une homographie dont la courbe est concave sur la demi-droite positive. La tangente en $x_0$ est $y=h'(x_0)x+h(x_0)-x_0h'(x_0)$ et donc $$\mathbb{E}(h(X))\leq h'(x_0)5+h(x_0)-x_0h'(x_0)$$ et le minimum de $h'(x_0)5+h(x_0)-x_0h'(x_0)$ est atteint en $x_0=5$ et vaut $h(5).$ On applique cela aux trois homographies de l'exo et on trouve $305/42 $ On ne peut faire mieux car cette borne est atteinte quand la loi de $X$ est $\delta_5.$ Ce qui correspond à la fonction $f$ de l'exo égale à $5.$

etanche · March 2023

@ bd 2017 peux-tu poster ta solution?merci (sans variable aléatoire si possible)

bd2017 · March 2023

Sous la contrainte, on cherche à maximiser $\int_a ^b g_0(f(x)) dx$ où $ g_0(x)=\dfrac{5 x+3}{x+7}+\dfrac{6 x+4}{x+9}+\dfrac{7 x+5}{x+11}=18 -\Big( \dfrac{50}{x+9}+\dfrac{72}{x+11}+\dfrac{32}{x+7}\Big)=18-g(x)$ où ce qui revient au même on doit minimiser $\phi(f) =\int_a ^b g(f(x)) dx.$

Cela ne sert pas beaucoup à faire ceci mais on voit mieux que $\phi(f)$ est minorée.

Soit $f $ un minimum local de $\phi$ et une petite perturbation de la forme $f+\epsilon h$, où $h$ est une fonction continue de moyenne nulle.

$0= [\partial_{\epsilon}( f+\epsilon h)]_{\epsilon=0} =\int_a^b g'(f(x)) h(x) dx,\ \forall h,\ \int_a^b h=0 $ implique $g'(f(x))$ est une fonction constante et donc $f$ est constante. Finalement la meilleure majoration est $g_0(5)(b-a)=\dfrac{305}{42}(b-a)\approx7.2619 (b-a).$

@etanche Je suppose que le $9$ donné dans l'énoncé vient d'un autre raisonnement, sûrement moins précis. Mais on aimerait aussi avoir le retour.

etanche · March 2023

L’énoncé qui m’a été transmis c’est avec 9. Effectivement moins précis que 305/42, je ne vois pas avec quel raisonnement moins précis on arrive à 9.

Les trois fonctions homographiques $(H_k)_{1\leq k \leq 3} $ sont concaves sur $]0;+\infty[$, avec Jensen
$H_k(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx) \geq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} H_k(f(x))dx$
$ \int_{a}^{b} H_k(f(x)) dx \leq (b-a)H_k(5)$ comme $H_1(5)+H_2(5)+H_3(5)= \frac{305}{42}$ on a l’inégalité demandé.

Intégrale inégalité mercredi 15 mars 2023

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