Priorités opératoires

Boole et Bill · January 2021

Bonsoir la compagnie. Pour expliquer pourquoi la multiplication est prioritaire sur l'addition, on peut par exemple revenir à la définition de la multiplication. Ainsi $3\times 5 + 2 = 5+5+5+2 = 17$ et donc on ne peut pas avoir $3\times 5 + 2 = 3 \times 7 = 21$. J'avoue que pour expliquer cela avec $\pi + e \times \sqrt{2}$, ça devient plus complexe ($\C$ pas vrai, pourriez-vous me répondre). Du coup je cherche pour commencer une justification constructive dans un anneau, disons commutatif même si je ne pense pas que cela change grand chose. Donc j'ai mon anneau $A$, et je veux montrer qu'il existe $x,y,z$ dans $A$ tels que $x+yz\neq (x+y)z$. Vu que $(x+y)z=xz+yz$, il me suffit de faire en sorte que $x\neq xz$. Pour cela, il me faut $x\neq 0$ et $z\neq 1$. Le triplet $(1,0,0)$ fonctionne et on est content. Bon, le problème c'est que mes collégiens, qui n'ont même pas la distributivité dans leurs trousses, n'y pigerons rien (après traduction dans leur ensemble de nombre préféré bien sûr) parce que : je le répète, pas de distributivité a priori ; je ne pense pas que l'argument du "il existe un contre exemple donc faut faire gaffe" leur parle.
Bref ! Si je viens vers vous, c'est pour savoir si vous aviez une chouette explication qui s'adapte au-delà des entiers (je ne parle pas d'ordinaux on se calme).
Merci !

nicolas.patrois · January 2021

C’est une convention, on aurait pu choisir autre chose (de gauche à droite par exemple).
Disons que 3 vaches plus 4 vaches…

Riemann_lapins_cretins · January 2021

Disons qu'on se prive déjà de la manière primaire d'utiliser la multiplication sans ça. Rien que 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 rendrait l'intérêt de la notation multiplicative totalement nul.

gerard0 · January 2021

On ne peut pas justifier une convention d'écriture en l'utilisant : "$ 3 \times 5 + 2 = 5+5+5+2$" utilise déjà la priorité de la multiplication.

C'est bel et bien une convention assez naturelle pour éviter de multiplier les parenthèses explicatives.

Cordialement.

Dom · January 2021

Je vais dans le même sens que les deux messages précédents.

Il s’agit d’un choix.
C’est comme la majuscule en début de phrase.
L’humain a décidé qu’on n’écrirait plus les parenthèses autour des produits.

CapitaineHaddock · March 2023

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Dom
Je ne suis pas mathématicien, je suis prof de français, mais je trouve cette remarque très intéressante: c'est une convention, et je crois qu'il serait intéressant de présenter la chose ainsi aux élèves.

Je pense que l'on ne se rend pas assez compte que la formulation d'un problème ou d'une équation est une manière de communiquer ou de partager, disons de "formuler" la question à laquelle on cherche une réponse, et qu'il est donc nécessaire, au départ, de se mettre d'accord sur la manière de formuler. Un peu comme en français, on place les mots dans un certain ordre, et il arrive que certaines formulations deviennent ambiguës, et l’ambiguïté "saute" une fois que l'on connait le contexte, le sujet.

Malheureusement, en maths, à l'école, on demande souvent de trouver la réponse à un calcul sans savoir ce que ce dernier calcule.

Je ne pense pas être "stupide", mais, élève, j'avais des difficulté en maths car je ne trouvais pas le sens du calcul demandé. Par contre, lorsque je fais de la radio et que je dois calculer quelque chose en rapport avec une longueur d'onde, un semi-conducteur, ou un truc du genre, une même équation me semble plus "simple" car je sais ce que je calcule.

Il y a cette fameuse histoire du 8 ÷ 2 (2+2) sur lequel la Toile se déchire, cherchant LA bonne réponse, alors que, à mon sens, mais je ne suis pas mathématicien, le problème est tout bonnement mal formulé et réellement ambigu, et que l’ambiguïté serait levée si l'on savait ce que l'on calcule, et donc si l'on nous demande de diviser 8 par 4 ou de multiplier 4 par 4.

Sur ce point précis, mon sentiment de béotien est que, en premier lieu, il faudrait se conformer aux normes et remplacer le ÷ par la barre de fraction /, et ensuite de lever la confusion possible du 2(2+2) en l'écrivant soit 2(2+2), soit 2X(2+2). Peut-être que pour vous, mathématiciens, 8 / 2(2+2) et 2 / 2 X (2+2) c'est pareil, mais pour moi, quand je le "lis", je le l’interprète différemment.

Pour comparer avec le français, s'il existe une convention pour le sens de l'adjectif "grand" utilisé pour une personne (un homme grand ou un grand homme) il n'y en a pas, je pense, pour un objet. Prenons l'exemple d'une bouteille: on ne dira pas "une bouteille grande" mais si je demande de citer le nom d'une grande bouteille, la réponse "un magnum" sera toute aussi correcte que "un Petrus 1970", alors que l'adjectif "grande" prend un sens différent. Par contre, dans un contexte connu, il n'y aura plus d’ambiguïté et si la réponse donnée ne va pas dans le sens de la question posée, le problème ne vient pas de la personne qui répond mais de la formulation.

Et, je termine avec ça, même si l'on admet, en maths, que l'ordre division - multiplication est juste de gauche à droite, si vous devez représenter la fonction 1 / 2√x, pour x=16, par exemple, vous aurez 2 ou vous aurez 0.25? Parce que, bon, la racine carrée a priorité, mais ensuite division et multiplication c'est de gauche à droite, non? Racine de 16 c'est 4, alors on aurait 1/2X4, donc 0.5 X 4, et ça fait 2. Pour moi, qui ne suis pas matheux, j'aurais tendance à comprendre le 2√x comme un tout...

Heuristique · March 2023

Bonjour,

Effectivement, les priorités opératoires viennent de convention. Sur l'exemple donné par @Capitaine Hadock , on peut facilement lever l'ambiguïté en écrivant $\frac{8}{2(2+2)}$ ou $\frac{8}{2}(2+2)$. De toute façon, on utilise en général très peu $\div$ en mathématiques, sauf dans les petites classes. Je pense que la plupart des gens qui font des mathématiques se contrefichent de la sémantique de $8 \div 2(2+2)$ : en tout cas, je m'en contrefiche.

Je suis moins d'accord sur le fait que les calculs doivent impérativement être menés dans un contexte. Je conçois parfaitement qu'il est difficile pour de nombreux élèves de faire des mathématiques sans un contexte concret derrière mais c'est la nature même de la discipline de permettre une montée en abstraction. Calculer $4+3$, ce n'est pas juste dire que si Boris a 4 pommes et 3 poires, il a 7 fruits. Dire $4+3 = 7$, c'est dire que quelque soit les objets considérés, si j'en prends 4 et que j'en ajoute 3, j'en obtiens 7. Je ne suis pas historien des sciences mais il me semble d'ailleurs que c'est la création du concept de nombre qui permet d'établir à quel moment les hommes ont commencé à faire des mathématiques. D'autre part, se restreindre au concret en mathématiques peut mener à ne pas considérer des additions comme $e + \pi$ ou à traiter le nombre complexe $i$ comme un paria.

JLapin · March 2023

CapitaineHaddock a dit :

Je ne pense pas être "stupide", mais, élève, j'avais des difficulté en maths car je ne trouvais pas le sens du calcul demandé.

Je ne suis pas persuadé qu'un élève qui bloque sur les calculs proposés dans ces sujets du BEPC soit plus à l'aise si on habille les exercices d'un contexte quelconque comme c'est la mode actuellement, jusque dans les sujets du bac...

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/349214#Comment_349214

verdurin · March 2023

Je me souviens avoir lu dans un ouvrage de Poisson ( dix-neuvième siècle ) :

$x\quad \cdot \quad x-1\quad \cdot \quad x-2\quad\cdots$ pour $x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdots$
avec des espaces un peu plus petites autours des «$\cdot$», mais plus grandes qu'une espace normale.

Je ne sais pas quand les parenthèses sont devenues obligatoires.

Soc · March 2023

J'explique à mes collégiens que le symbole ÷ est réservé à ceux qui n'ont pas encore appris l'écriture fractionnaire. Il en va de même pour la règle de priorité "de gauche à droite" réservée donc à ceux qui n'ont pas encore appris l'usage des fractions ni des additions de relatifs. Dès la 5ème on peut donc se passer de cette horreur et en 6ème on peut ne pas s'en servir pour ne pas engluer les élèves dans une vision maladroite des priorités opératoires.

samok · March 2023

Dans tous les tableurs à ce jour : =-1^2
est égal à $1$,

par contre dans les macros que l'on peut faire avec ces tableurs, cela donne $-1$.

D'autres questions prioritaires ?

Soc · March 2023

Et là je constate que je ne fais pas de tableur avec mes élèves, car je me serais déjà posé la question de Samok, d'où vient cette aberration?

Je pensais en lisant que le -1^2=1 venait d'un appel à une cellule, mais non. Si l'on écrit directement -1^2 sans parenthésage on obtient effectivement 1. Peut-être que ceux qui ont développé les macros dans ces logiciels sont des matheux et pas les autres?

biely · March 2023

Le même style d’aberration qu’un 30-50%=15 que l’on trouve parfois...Je pense que c’est voulu, histoire d'aller plus vite dans des situations les plus courantes.

lourrran · March 2023

La multiplication est prioritaire sur l'addition, c'est une convention, mais heureusement qu'on a choisi cette convention et pas l'autre !
3 pommes plus 2 bananes, en français, on voit très bien ce que ça représente, et heureusement, en maths, ça reste la même chose. Si on avait dit que $3 \times p+2 \times b$, c'est $3 \times (p+2 \times b)$, ou encore $3 \times (p+2) \times b$, quel pataquès !

nicolas.patrois · March 2023

Oui, c’était ce que j’écrivais à propos de vaches.

Soc · March 2023

Je ne suis pas sûr de suivre ce que tu dis Lourrran, avec l'autre convention 3 pommes plus 2 bananes donnerait (3 x P) + (2 x B ). Je ne dis pas que j'en raffole, mais cela reste tolérable.

Dom · March 2023

On essaye de justifier une convention. C’est naturel. Les conventions si elles sont arbitraires viennent en général de quelques chose de l’ordre de l’usage, me dis-je.

lourrran · March 2023

Quand on écrit $3$ pommes plus $2$ bananes, pas besoin de parenthèses pour préciser que $3$ s'applique à pommes et $2$ s'applique à bananes.
Comme quand on écrit $(3 \times p) + (2 \times b)$, qui s'écrit aussi $3 \times p + 2 \times b$ ou $3 p + 2 b$. La règle adoptée en mathématiques est parfaitement conforme à ce qui s'applique en langage courant.
Si on avait décidé que l'addition était prioritaire sur la multiplication, l'expression $3$ pommes $+ 2$ bananes s'interpréterait comme $(3$ pommes$) + (2$ bananes$)$ dans la vie courante, mais comme $3 \times ($pommes$+ 2) \times $bananes en mathématiques.

Dom · March 2023

Peut-être que la discussion n’est plus si simple pour le cas où l’on ne regarde QUE des nombres et pas des grandeurs physiques.

« Trois plus deux fois cinq » : aucune idée de ce qui est naturel car dans le langage courant, on ne dit pas des choses comme ça.

Avec des bananes, oui « 3 bananes » mais « banane » n’est pas un nombre alors…

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