Exercices faisant intervenir des décompositions de matrices

wof44 · March 2023

Bonjour,
Je suis à la recherche d'exercices corrigés faisant intervenir des décompositions de matrices, pour illustrer la leçon (d'exercices) n°319 de l'agrégation interne.
Merci de votre aide.
Cordialement.

Rombaldi · March 2023

Bonjour wof44,
voilà des idées d'exercices. Ce n'est pas une leçon modèle. Tu peux choisir un des exercices qui t'inspire et le transformer à ta sauce en le simplifiant ou .... Certains de ces exercices peuvent se trouver dans des ouvrages classiques.

Je te conseille les livres de Franchini et Jacquens : https://www.editions-ellipses.fr/accueil/13426-loral-en-poche-agregation-interne-de-mathematiques-9782340045545.html
et
https://www.editions-ellipses.fr/accueil/10779-21255-cours-particuliers-de-mathematiques-pour-lagregation-interne-9782340042636.html#/1-format_disponible-broche

Bonne journée

Positif · March 2023

Montrer que $SL_n( \mathbf{C} ) $ est connexe par arcs.

Poirot · March 2023

Et $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ avec pour application la connexité (par arcs) de $\mathrm{GL}_n^+(\mathbb R)$.

Math Coss · March 2023

L'argument qui repose sur l'engendrement par les transvections me semble plus naturel, dans les deux cas.

Disons que si on passe par la décomposition polaire, il faut avoir la connexité des groupes orthogonaux réels et unitaires. Pour cela je vois deux voies. Une façon commune est d'utiliser les quotients $\mathrm{SO}_n/\mathrm{SO}_{n-1}\simeq S^{n-1}$ et $\mathrm{SU}_n/\mathrm{SU}_{n-1}\simeq S^{??}$ et là, on utilise un lemme qui n'est pas si agréable (expérience faite in situ...) : si $H$ et $G/H$ sont connexes, alors $G$ l'est.

Cela dit, une autre façon consiste à utiliser une réduction pour les endomorphismes orthogonaux (resp. unitaires) à une forme diagonale par blocs de la forme $\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}$ et $R_t=\left(\begin{smallmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{smallmatrix}\right)$ (resp. $\begin{pmatrix}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\end{pmatrix}$). Dans ce cas, la connexité par arcs va de soi.

NB : dans le cas orthogonal, a priori il y a des blocs de valeur propre $-1$ mais comme on suppose que le déterminant est $1$, on les regroupe par deux pour faire un bloc $R_\pi$.

Poirot · March 2023

Justement, le fait que les transvections engendrent le groupe spécial est une décomposition de matrice selon moi.

Math Coss · March 2023

Ah d'accord, si tu veux. Alors ça fait deux décompositions de types différents pour aboutir à la connexité, ça commence à devenir sympathique.

JLapin · March 2023

Montrer que si $G$ est un sous-groupe compact de $GL_n(\R)$ contenant $O_n(\R)$, alors $G=O_n(\R)$ (utilisation au choix de la décomposition polaire ou de la décomposition $QR$).

Positif · March 2023

La preuve de la décomposition QR pour voir si on a bien compris l'algorithme de Schmidt.

biguine_equation · March 2023

Dans « Algèbre et géométrie, 81 thèmes pour l’agrégation » (Fresnel, Matignon) il y a de nombreux théorèmes et idées d’exercices comme une généralisation de la décomposition $LDU$.

biguine_equation · March 2023

Soit $A \in \mathscr{M}_{n \times m}(\mathbb{R})$ non nulle de rang $r$ et $x \in \mathbb{R}^m$, $x \neq 0$.
Montrer que $Ax=0$ si et seulement si il existe $y_1,\dots,y_r \in \mathbb{R}^n$ et des matrices antisymétriques $S_1,\dots,S_r \in \mathscr{M}_{m \times m}(\mathbb{R})$ telles que l’on ait la décomposition (additive)\begin{equation}
A=\sum_{i=1}^{r}y_ix^{T}S_i,
\end{equation}avec $x^T$, la transposée de $x$.

wof44 · March 2023

Merci pour votre aide. Mais la plupart des arguments présentés ici volent trop haut pour moi et pour l'interne en général...
Bon WE

agregagreg2 · March 2023

D'ailleurs dans cette leçon, une "décomposition" est-ce forcément multiplicative ? Peut-on utiliser la décomposition de Dunford ?

wof44 · March 2023

Selon les formateurs (je suis la prépa agreg interne à Nantes), il est tout-à-fait licite de parler de la décomposition de Dunford ici.

NicoLeProf · March 2023

Je n'ai pas préparé cette leçon pour le moment mais je pense qu'on pourrait aller voir du côté de :

-> La décomposition de Dunford en effet (démonstration du théorème + application) ;

-> La génération du groupe spécial linéaire (engendré par les transvections). Ainsi, toute matrice inversible de déterminant 1 peut être décomposée comme un produit de transvections (et proposer une application ou mettre en évidence que c'est ce que l'on fait en utilisant le Pivot de Gauss).

-> La décomposition LU d'une matrice.

(La diagonalisation et trigonalisation pourraient-elles rentrer dans ce cadre? Ce sont presque des décompositions finalement non?)

wof44 · March 2023

Il s'agit d'une leçon d'exercices (oral II), la démonstration de la décomposition de Dunford n'y a pas sa place. Il faut trouver 5 exos en gros qui balaient la notion, qui soient variés et intéressants. Diagonalisation + Trigonalisation + LU + Dunford, ça me semble très bien.

biguine_equation · March 2023

Un problème (toujours tiré de l’ouvrage de Fresnel et Matignon) qui semble adapté à l’agrégation interne et qui fait appel aux matrices de permutations: si $k$ est un corps commutatif, tout élément de $GL_n(k)$ de déterminant $\pm 1$ est le produit de quatre involutions, c’est-à-dire de quatre matrices dont le carré est $I_n$.

EDIT: pardon, j’avais pas bien lu le dernier message de wof44: c’est un peu trop lourd pour un exercice d’oral. Et ça parle plus à l’agrégation externe.

NicoLeProf · March 2023

wof44 a dit :

Il s'agit d'une leçon d'exercices (oral II), la démonstration de la décomposition de Dunford n'y a pas sa place.

On ne peut pas proposer une démonstration de cours en leçons d'exercices (oral 2) : présentée sous la forme d'un exercice?

curiosity · March 2023

Bien lire le rapport !

1) L'épreuve n'exige pas CINQ exercices ("le candidat propose trois à six exercices ou exemples"). Mieux vaut 3 exercices maîtrisés et un 14 que 5 ou 6 bancals et un 8...

2) Concernant Dunford (au programme) :

"la démonstration d’une propriété du cours nécessite, si le candidat souhaite la proposer dans sa liste d’exercices ou d’exemples, un réel travail de transformation pédagogique pour qu’elle devienne un véritable exercice, au risque sinon de dévoyer le sens de cette épreuve en reprenant à l’identique des énoncés qui ont en fait toute leur place dans l’épreuve d’exposé."

Bonus du jour : s'il n'est pas conseillé de faire du cours dans l'épreuve 2, il n'est pas du tout interdit de proposer en développement dans l'oral 1 un exercice ou un exemple

...

Exercices faisant intervenir des décompositions de matrices

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