Que sont ces groupes ?

igrec27 · March 2023

Bonjour
Dans un article, j'ai trouvé la notation $R^{16} / (\Gamma^{8} \oplus \Gamma^{8} )$.
En quoi est-ce différent de $R^{16} / \Gamma^{16}$ ?
On a ici le groupe réel de dimension 16 quotienté par des réseaux discrets.
Merci.

Math Coss · March 2023

Je dirais qu'en tant que groupes, il n'y a pas de différence ; en tant que variétés riemanniennes, Milnor affirme sans détailler qu'elles ne sont pas isométriques.

igrec27 · March 2023

Oui c'est à propos de ce papier que je pose cette question basique :
si $\R^2/{\Z^2}$ c'est le tore, $R^2 / (Z \oplus Z)$ c'est quoi ?
https://arxiv.org/abs/2008.01043

Math Coss · March 2023

Pas de différence entre $\Z^2$ et $\Z\oplus\Z$ – ni entre $\R^2/\Z^2$ et $\R^2/(\Z\oplus\Z)$ donc.

Je ne vois pas le lien avec la question précédente cependant. S'il est vrai que $\Gamma^8\oplus\Gamma^8$ et $\Gamma^{16}$ sont deux groupes abstraits isomorphes à $\Z^{16}$, ils ne sont pas isomorphes en tant que réseaux, i.e. il n'existe pas d'isomorphisme qui préserve la forme bilinéaire qui vient avec.

igrec27 · March 2023

Merci pour le lien sur les réseaux unimodulaires.
Quitte a me plonger dans des textes au dessus de mon niveau, j'ai trouvé ceci ou on parle des deux exemples de Milnor:
http://gaetan.chenevier.perso.math.cnrs.fr/articles/CL_preface_intro_en.pdf
page 8.

igrec27 · March 2023

Je reviens sur les variétés différentes obtenues en quotientant $R^{16}$ soit par $Z^{16}$ soit par $Z^{8} \oplus Z^{8}$.
dans le cas n = 1 on identifie 2 points de R et on "replie" un segmant pour obtenir un cerle.
Quand n = 2 on part d'un carré ou on identifie les cotés opposés et on replie le carré pour obtenir le tore.
On a ainsi des regles pour les relations d'équivalences.
J'imagine qu'il en est de meme pour n = 16 avec les deux variétés différentes obtenues.
Comment se font les "collages" ?
Veuillez me pardonner le coté "avec les mains" de cette demande .....

GaBuZoMeu · March 2023

Bonjour,

Les variétés ne sont pas différentes en tant que variétés tout court, elles sont différentes en tant que variétés riemanniennes. Ça a déjà été dit, mis je le répète.

Prenons par exemple dans $\R^2$ les deux réseaux unimodulaires $\Lambda_0=\Z(1,0)\oplus\Z(0,1)$ et $\Lambda_1=\Z(1,0)\oplus \Z(1/2,1)$. $\R^2/\Lambda_0$ et $\R^2/\Lambda_1$ sont difféomorphes, ce sont tous les deux des tores. Mais ils ne sont pas isométriques : dans le premier, il y a deux géodésiques fermées de longueur 1 passant par l'image de l'origine dans le quotient (méridien et parallèle, si on veut) ; dans le second, il n'y a qu'une telle géodésique (si le parallèle est de longueur 1, le méridien est de longueur $\sqrt5/2$ - en fait, il y en a deux).

Pour ta question sur les collages : ils se font toujours de la même façon, on identifie par translation une facette de l'hyperparallélépipède à la facette opposée.

Que sont ces groupes ?

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