Approximation rationnelle de la racine carrée d’un rationnel

Il n'y a pas une meilleure approximation puisque l'on peut approcher un irrationnel aussi près que l'on veut. En revanche, il y a une famille de meilleures approximations : étant donné un entier $Q$, parmi les fractions dont le dénominateur est au plus $Q$, laquelle est la plus proche du nombre ? Réponse donnée par la théorie des fractions continu(é)es.

Pour les irrationnels quadratiques, ça se passe bien, leur mesure d'irrationnalité vaut $2$ (avec une fraction continue périodique, résultat remontant à Lagrange). Mais ça se passe moins bien pour de nombreux irrationnels transcendants dont la mesure d'irrationnalité est $> 2$ et qui ne pourront jamais être approchés à $\dfrac{1}{q^2}$ près (cf. Khintchin).

Je regardais les premières réduites de $\sqrt{2}$ : $r_1=1$, $r_2=3/2$, $r_3=7/5$, $r_4=17/12$, etc. En commençant avec $x_0=1$ les fractions obtenues par la méthode de Héron sont : $x_1=3/2$, $x_2=17/12$, $x_3=577/408$, etc. Est-il vrai que $x_n=r_{2^n}$?

@Area 51 Justement, si un irrationnel (nécessairement transcendant d'après le théorème de Roth) a une mesure d'irrationnalité $> 2$, alors on peut l'approcher en $\frac{1}{q^2}$, et même mieux que ça. En fait tous les irrationnels sont approchables en $\frac{1}{q^2}$ d'après Dirichlet.

Je l'ai vérifié jusqu'à $n=10$. Pour les fractions $x_n$ obtenues par la méthode de Héron pour approcher $\sqrt{2}$ le site Wolfram Alpha donne la formule $x_n=\sqrt{2}\coth(2^n\tanh^{-1}(\sqrt{2}))$. D'où sort cette formule je n'en sais rien du tout mais on peut la réécrire sans les fonctions hyperboliques et du coup poser : $$y_m=\sqrt{2} ~~ \frac{\left(\sqrt{2} + 1 \right)^{m} + \left(\sqrt{2} - 1 \right)^{m}}{\left(\sqrt{2} + 1 \right)^{m} - \left(\sqrt{2} - 1 \right)^{m}}.$$ Si $m=2^n$ ($n\geq 1$) alors $y_m=r_m=x_n$ ($r_m$ est la m-ième réduite de $\sqrt{2}$), sinon $r_m=2/y_m$. On doit pouvoir démontrer cela par récurrence en utilisant le binôme de Newton ?

Il y a sans aucun doute le même genre de formules pour la racine carrée d'un rationnel quelconque et cela montre à quel point la méthode de Héron est efficace pour approcher une telle racine.

@Ludwig

Dans cet article Yeyios définit par récurrence des fractions rationnelles $f_k(x)=P_k(x)/Q_k(x)$ qui permettent d'approcher la racine carrée d'un entier $N$ de façon itérative : on prend pour $x_0$ la partie entière de cette racine puis on fait $x_{n+1}=f_k(x_n)$. La convergence est alors d'ordre $k$. Il pose $P_0(x)=x$ et $Q_0(x)=1$ puis définit : $$P_{k+1}(x)=xP_k(x)+NQ_k(x), \quad \quad Q_{k+1}(x)=xQ_k(x)+P_k(x).$$ J'ai donné par exemple cette fraction un plus haut, pour $N=2$ et $k=4$. 

On peut demander à un logiciel de déterminer ces premières fractions, le tableur de GeoGebra le fait sans problème. Pour $N=2$ j'ai constaté que l'écriture développée des numérateurs et dénominateurs ne comporte que des entiers produits de nombres premiers inférieurs ou égaux à $k$. Exemple pour $k=12$ : $$P_{12}(x)=x^{12} + 132 \; x^{10} + 1980 \; x^{8} + 7392 \; x^{6} + 7920 \; x^{4} + 2112 \; x^{2} + 64,\\ Q_{12}(x)=12 \; x^{11} + 440 \; x^{9} + 3168 \; x^{7} + 6336 \; x^{5} + 3520 \; x^{3} + 384 \; x.$$ On pourrait le démontrer par récurrence ? Je ne vois pas comment faire. Et que ce soit vrai en général me paraît assez douteux..

Oui, et ces deux méthodes sont d'ordre $2$. Mais la méthode de Newton a l'avantage de toujours donner des réduites. Et puis, si on veut des fractions, peu importe qu'il y ait le calcul de $1/u_n$, car on va calculer séparément les numérateurs et dénominateurs.