Erreurs sujets agrégation externe spécial docteurs math 2023
Bonjour,
il me semble qu'il y a au moins trois erreurs dans le sujet spécial docteurs d'aujourd'hui.
il me semble qu'il y a au moins trois erreurs dans le sujet spécial docteurs d'aujourd'hui.
Dans l'exercice 3, question 2 on avait une suite définie à l'aide d'une fonction continue $f$ par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
On suppose que la suite a au moins une valeur d'adhérence et que $u_{n+1}-u_n \to 0$.
On suppose que la suite a au moins une valeur d'adhérence et que $u_{n+1}-u_n \to 0$.
Dans la question a), on doit montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un intervalle $I$.
Si $f(x)=x$ alors c'est faux la suite est convergente même constante.
Ou bien ils emploient le terme intervalle pour les singletons comme ensemble des points à distance 0, ce qui me semble un peu fallacieux.
Si $f(x)=x$ alors c'est faux la suite est convergente même constante.
Ou bien ils emploient le terme intervalle pour les singletons comme ensemble des points à distance 0, ce qui me semble un peu fallacieux.
Dans la question b), il demande de montrer que pour tout réel dans l'intervalle $I$, $f(x)=x$ (j'ai vu cette question après avoir pensé à la fonction et m'être dit qu'il y avait un problème... pas de chance j'ai perdu beaucoup de temps).
Finalement dans la question c), il demande de montrer que la suite converge, ce qui contredit que l'intervalle $I$ soit différent d'un singleton.
J'ai ensuite pris le problème d'algèbre et géométrie et essayé de faire ce que je pouvais après tout le temps que j'avais perdu.
Sur la fin en grappillant autant que possible, je me suis retrouvé à perdre mes 30 dernières minutes sur la Partie IV.
On nous donne $(\lambda_k)_{1\leq k\leq n}$ des réels strictement positifs.
Dans la question 15, on nous demande tout de suite de démontrer que la matrice $\left(\dfrac{1}{\lambda_i+\lambda_j}\right)$ est définie positive.
Dans la question 15, on nous demande tout de suite de démontrer que la matrice $\left(\dfrac{1}{\lambda_i+\lambda_j}\right)$ est définie positive.
Il me semble que c'est faux en prenant $\lambda_i=\frac{1}{2}$, on a une matrice de $1$ qui n'est pas définie. On peut néanmoins démontrer facilement qu'elle est positive je pense en minorant avec un $\max(\lambda_i)$.
La question 16 est la même, on remplace la matrice par $\left(\exp(\dfrac{1}{\lambda_i+\lambda_j})\right)$ et donc le même problème.
Bien-sûr j'ai pensé à ces contre-exemples après la fin de l'épreuve...
D'une part, si je me trompe ça m'intéresse qu'on m'explique ce qui était attendu.
D'autre part, est-ce que parmi vous certains ont déjà corrigé des copies ? J'aimerais savoir comment ils traitent ce genre de choses.
D'autre part, est-ce que parmi vous certains ont déjà corrigé des copies ? J'aimerais savoir comment ils traitent ce genre de choses.
C'est tant pis pour moi, n'est-ce pas ?
Merci d'avance et bonne soirée,
Alexandre
Merci d'avance et bonne soirée,
Alexandre
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Réponses
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Bonjour.Si $u_0=x$ et $f(x)=x$, l'ensemble des valeurs d'adhérence est bien un intervalle : $[x,x]$.Cordialement.
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Un singleton est bien un cas particulier d'intervalle. Un intervalle de $\mathbb R$ est par définition une partie convexe de $\mathbb R$, ce qui est le cas pour les singletons, aucun problème ici.
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Peux-tu poster le sujet, qu'on puisse juger sur pièces ?
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Bonsoir,
merci pour vos réponses, c'est donc bien ça ils prennent les points à distances 0. Je ne vois pas bien ce qu'ils attendaient sur cette question.
L'hypothèse $u_{n+1}-u_n\to 0$ me laissait penser directement qu'il ne devait y avoir qu'une seule valeur d'adhérence. Si j'extrais une sous-suite convergente $u_{n_k}$, j'en engendre une autre $u_{n_k+1}$ qui converge vers la même valeur d'adhérence et j'avais l'impression que j'allais pouvoir conclure que toutes convergeaient avec un peu d'effort vers la même valeur sans faire ce qu'ils demandaient donc ça m'a perturbé.
Voici le sujet, il manque le deuxième problème.
Bonne soirée,
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Effectivement, à la question 15 du problème, il manque le fait que les $\lambda_i$ doivent être distincts.
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L'exercice 1 est donné comme oral au concours de l'école normale supérieure depuis plusieurs années... en une seule question.L'exercice 3 est également un grand classique des oraux de concours (en MP uniquement car c'est la seule filière qui connait encore la notion de valeur d'adhérence).L'exercice 4 a aussi été donné aux concours CPGE au moins 3 fois lors des 5 dernières années, si l'on omet la partie sur la loi normale qui n'est pas au programme des classes prépa.J'ai bien l'impression que le concepteur du sujet est allé piocher ses exercices dans les annales de la RMS.Ceci étant dit, si l'on omet l'erreur à la question 15, c'est un beau sujet.
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NouveauX
D'autre part, est-ce que parmi vous certains ont déjà corrigé des copies ? J'aimerais savoir comment ils traitent ce genre de choses.Normalement quelqu'un qui aurait déjà corrigé des copies (et qui respecte la déontologie) ne te répondra pas, les décisions sont confidentielles.En plus, je ne doute pas que la réponse puisse varier d'une année sur l'autre, ce ne sont pas toujours les mêmes jurés. -
Comment peut on utiliser un produit scalaire pour la question 15?merci d'avance pour vos éclairages
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Pour la 15 on peut faire une récurrence sur $n$: soient $\lambda \in [0,+\infty[^{(n+1)^2}; x\in \R^n$ et $S_n:= \sum_{1\leq i,j \leq n} \frac{x_i x_j}{\lambda_i +\lambda_i}$. On suppose $i\mapsto \lambda_i$ croissante (quitte à réordonner les termes on peut toujours se ramener à ce cas). Que peut-on dire du discriminant de $t\mapsto \frac {t^2}{2\lambda_{n+1}} + 2t \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\lambda_i+\lambda_n} + S_n$?NB: comme signalé plus haut il faut supposer les $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq n+1}$ distincts sans quoi la matrice correspondante sera seulement positive (non forcément définie).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Pour le produit scalaire on peut considérer le matrice de Gram avec les fonctions $t^{λ_i}$, et le produit scalaire $(f,g)=\int_0^1 f(t).g(t)/t dt$ sur l'espace généré par ces fonctions.
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Si deux des $\lambda_i$ sont égaux, il y a deux lignes égales (et deux colonnes égales) donc la matrice n'est pas définie positive.
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Et sinon, est-ce qu'il y en a qui ont choisi le problème d'analyse ? Si oui jusqu'où ?
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Merci Foys, Alexis et Math Coss pour vos réponses
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À la place d'un déterminant de Gram, pour la question 15 (rectifiée), on peut aussi considérer $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Big(\sum x_\ell{\rm e}^{-\lambda_\ell t}\Big)^2\,{\rm d}t$. Cela revient au produit scalaire d'alexisp à changement de variable près.
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Svp qui a le sujet d annalyse et proba de ce jour
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celui du concours standard est la https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415561/#Comment_2415561
est ce que qqun a fait celui du concours sépcial doc?
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