Groupe additif non commutatif

Tu n’as pas compris le message de kalimoulox. 

La plupart du temps, si on parle d'addition, c'est qu'on est au moins dans un des deux cas suivants : on veut parler d'un groupe commutatif ou il y a une multiplication qui vient avec l'addition. Dans le deuxième cas, c'est en général qu'on parle d'un anneau et alors la commutativité de l'addition fait partie des axiomes, si bien qu'on est dans le premier cas...
Bref, soit on a un simple groupe et alors on est libre d'appeler la lou addition même si elle n'est pas commutative mais ce n'est pas habituel. Soit on a deux lois qu'on appelle addition et multiplication et pour justifier ces noms, on suppose probablement un certain nombre de propriétés telles que la distributivité et... la commutativité.
Le fait est qu'étudier un ensemble muni de deux lois qui ne satisfont à aucune relation de compatibilité, c'est un peu vain (il n'y a aucune propriété à attendre ! ). Appeler une loi "addition" suggère fortement la commutativité. 

Il arrive très régulièrement que la loi soit notée $\cdot$, $\times$, voire sans symbole, ou encore $\cap$, $\cup$, $\triangle$, ou bien aussi $\otimes$, $\wedge$ (on n'a probablement pas d'associativité dans ce cas ; encore que si c'est le produit extérieur de formes différentielles et pas le produit vectoriel...), j'en passe et des meilleurs.
Cela me fait penser que certains adages deviennent vite problématiques : « la loi, c'est la loi. » Mais laquelle ?

Mais si vraiment tu tiens à avoir un symbole + non commutatif, tu peux regarder l'addition sur les ordinaux : $\omega + 1 \neq 1 + \omega$. Attention, les ordinaux ne forment pas un groupe pour +. Et, comme l'ont dit tous les autres intervenants, le choix de noter cette loi $+$ est un choix, on aurait pu la noter $\sharp$ si on en avait eu l'envie.

@Dom : bonjour. Il me semble que c'est le symbole $\top$ qui se nomme truc, et le symbole $\perp$ antitruc.

Je suis parfaitement d'accord avec les interventions, sur le thème "le mot addition et le symbole $+$ sont arbitraires", néanmoins on peut noter que la commutativité de l'addition (et tout le monde l'appelle ainsi) est indécidable dans l'arithmétique de Robinson.

Et donc elle a des modèles non commutatifs.
Ce ne sont pas vraiment des groupes, mais je suppose qu'on peut des Zédifier facilement.
Parmi les autres structures notées additivement et non commutatives, il y a les ordinaux

Le phénomène est plus sociologique qu'autre chose: l'usage réserve massivement la notation "$+$" aux lois de composition commutatives lorsqu'on a affaire à des groupes.

Dans la définition d'un anneau figure la commutativité de l'addition.

De même que si on passe d'un éléphant à une chaise, la trompe est perdue. (Les matrices ne forment pas un groupe multiplicatif. )