Une différentielle et un extremum

Bonjour.
Je planche sur l'exercice suivant.

On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
Soit $f$ un endomorphisme autoadjoint de $\R^n$ dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.
1. Montrer que $⟨f(x),x⟩>0$, pour tout $x\in \R^n$ non nul.
2. Soient $u$ un vecteur de $\R^n$ et $g : \R^n\to \R$ l’application définie par $g(x)=\frac12⟨f(x),x⟩−⟨u,x⟩$
Calculer le vecteur gradient de $g$ en tout vecteur $x$ de $\R^n$.
Montrer que $g$ admet un unique point critique.
Montrer que $g$ admet un minimum global.

J'ai écrit un développement limité à l'ordre 1 : $$g(x+h)=g(x)+⟨f(x)-u,h⟩+\frac12⟨f(h),h⟩$$
J'ai un peu de mal à écrire pourquoi le dernier terme est un $o(||h||)$.
En posant $h'=\frac{h}{||h||}$, j'obtiens $⟨f(h),h⟩=||h||^2⟨f(h'),h'⟩$ et là, je n'ai plus les idées claires...

Quant à la première question, mais ça me préoccupe moins, j'ai écrit que si $(x_1,\dots,x_n)$ sont les coordonnées de $x$ dans une base où $f$ est diagonale, la quantité $⟨f(x),x⟩$ vaut $\sum_i \lambda_ix_i^2$ avec les $\lambda_i$ tous strictement positifs, et est donc strictement positive.

Y a-t-il une autre manière de l'écrire ?
Merci !