Partie IV agrégation interne 2023

Je ne pense pas que ces questions soient difficiles il faut juste comprendre ce qu'il faut faire.

L'énoncé dit "on admettra que les opérations algébriques sur les limites de suites dans $\Q_p$ sont valides.
Cela veut dire qu'on peut faire un produit de Cauchy ? 
J'ai trouvé une idée pour la 58, mais je n'ai pas abouti. 

58) On a $| (-1)^{n+1} \dfrac{t^n}{n} |_p = \dfrac{|t|_p} { |n|_p} < \dfrac{1}{ |n|_p} = p^{v_p(n)}$
Or, $v_p(n) \leq v_p(n!) \leq \dfrac{n}{p-1}$ donc  $| (-1)^{n+1} \dfrac{t^n}{n} |_p \leq (p^{ \frac{1}{p-1}})^n$.
Ça ne semble pas fonctionner.

Merci.

D'accord merci.
@rakam joli ta manipulation des sommes doubles, je n'ai pas cette dextérité   
Avec ton inégalité, et l'indication de @bd2017 j'ai réussi à conclure, sauf erreur. 
On a  : $\lvert X_n Y_n-Z_n \rvert_p=\left| \displaystyle\sum_{(r,s) \in I \\ r+s>n} \dfrac{x^r}{r!} \dfrac{y^s}{s!} \right|_p$ 
Donc : $\boxed{\lvert X_n Y_n-Z_n \rvert_p \leq \max_{ (r,s) \in I \\ r+s >n} \left( \left| \dfrac{x^r}{r!} \right|_p \times \left| \dfrac{y^s}{s!} \right|_p \right) }$
Notons comme @bd2017 $\varepsilon_x=v_p(x)- \dfrac{1}{p-1} >0$ et $\varepsilon_y=v_p(y)-\dfrac{1}{p-1} >0$.
On sait que $\forall (r,s) \in I^2$, $\left| \dfrac{x^r}{r!} \right|_p \leq \dfrac{1}{p^{r \varepsilon_x}}$ et  $\left| \dfrac{y^s}{s!} \right|_p \leq \dfrac{1}{p^{s \varepsilon_y}}$
Donc $\forall (r,s) \in I^2, \ \left| \dfrac{x^r}{r!} \right|_p \times \left| \dfrac{y^s}{s!} \right|_p \leq \dfrac{1}{p^{r \varepsilon_x +s\varepsilon_y}}$
Mais $\forall (r,s) \in I^2 ,\ \text{tel que} \ r+s>n \  \ r \varepsilon_x + s \varepsilon_y \geq (r+s) \min( \varepsilon_x,\varepsilon_y) > n  \min( \varepsilon_x,\varepsilon_y)$
Donc $\forall (r,s) \in I^2 ,\ \text{tel que} \ r+s>n \  \left| \dfrac{x^r}{r!} \right|_p \times \left| \dfrac{y^s}{s!} \right|_p < \dfrac{1}{p^{ n   \min( \varepsilon_x,\varepsilon_y)}}$
Ainsi : $\boxed{\lvert X_n Y_n-Z_n \rvert_p \leq  \dfrac{1}{p^{ n   \min( \varepsilon_x,\varepsilon_y)}}}$ avec $\min(\varepsilon_x,\varepsilon_y) >0$.
Comme $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{p^{ n   \min( \varepsilon_x,\varepsilon_y)}} =0$ alors par comparaison on en déduit le résultat voulu
$\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \lvert X_n Y_n-Z_n \rvert_p =0 }$ et finalement $\boxed{\forall x,y \in \Q_p, \ e_p(x+y)=e_p(x) e_p(y)}$.

Il y a une notation que je ne comprends pas dans la partie IV. B et ça me perturbe pour rédiger la question 60.
Si $u \in \Z / p^n \Z$ pourquoi on le note $u$ et non $\bar{u}$ ? Pourquoi on ne note pas directement un élément de $H$  : $\overline{1+pu}$ ? 

59) $\# (\Z / p^n \Z)^{*} = \varphi(p^n)= p^n- p^{n-1}$ donc $\boxed{\# (\Z / p^n \Z)^{*} =p^n-p^{n-1}}$.

Oui c'est faux merci. $\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}$.

@rakam
Je ne comprends pas cette notation :  $\overline{(1+pu)(1+pz)}=\overline1$, pour moi cela n'a pas de sens car $u$ n'est pas entier, mais $u$ est une classe d'équivalence. Donc tu prends une classe de classe d'équivalence et c'est égal à $\bar{1}$ qui est une classe, ce n'est pas logique non ? 
Je suis revenu au représentant pour éviter cette confusion qui me gêne beaucoup.

@Julia Paule
Ok merci. 

60) Montrons que $H \subset (\Z / p^n \Z)^{*}$. 
Soit $x \in H$. Alors $x =\bar{1} + p u$ avec $u= \bar{u'}$ avec $u' \in \Z$. Donc $x=\overline{ 1 + p u'}$.
Montrons que $PGCD(1+pu',p)=1$. On a $(1+pu') \times 1 + p \times (-u')=1$ c'est une relation de Bezout donc $PGCD(1+pu',p)=1$ et ainsi $PGCD(1+pu',p^n)=1$.
Donc $x \in  (\Z / p^n \Z)^{*}$.
On a montré $\boxed{H \subset  (\Z / p^n \Z)^{*}}$.

Sous-groupe : 

• $\bar{1}=\bar{1}+ p \bar{0}$ donc $\bar{1} \in H$.
• Soient $x,y \in H$. Alors il existe $u,v \in (\Z/p^n \Z)^{*}$ de sorte que $x=\bar{1} + p u$ et $y=\bar{1} + p v$. Donc $xy=(\bar{1} + p u)(\bar{1} + p v)=\bar{1}+p(u+v + puv)$. Ainsi $xy \in H$.

Soit $x \in H$. Montrons que $x^{-1} \in H$. Posons $x=\bar{1} + p u$. Posons $v=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k p^{k-1} u^k \in (\Z / p^n \Z)$.
Alors $(\bar{1} + p u)(\bar{1} + p v)=\bar{1}$ donc $\boxed{x^{-1} = \bar{1} + p v \in H}$.

Méthode 2 : 
On veut résoudre $(1+pu')(1+px') \equiv 1 [p^n] \iff (1+pu')x' \equiv -u' [p^{n-1}] \iff x' \equiv -u' (1+pu')^{-1} [p^{n-1}]$.
Donc $\boxed{x^{-1} = \bar{1}+p x' \in H}$.

Bien vu   
Tu as raison d'aller au plus simple.