Courbe sphérique avec vitesse constante

Le changement de paramètre ne modifie pas l'image de la courbe : si on ne part pas d'un cercle, on n'aura pas un cercle après.

Étant donnée une courbe $\gamma:[a,b]\to\R^3$ de classe $C^1$, on pose \[\ell(t)=\int_a^t\bigl\|\gamma'(u)\bigr\|\mathrm{d}u.\] C'est une fonction strictement croissante de $[a,b]$ sur un intervalle $[0,L]$ (sauf si la vitesse s'annule sur un intervalle, ce qu'on va exclure) et donc elle établit une bijection entre ces intervalles. On note $\varphi=\ell^{-1}$ la fonction réciproque et on introduit une « nouvelle » courbe paramétrée $\hat{\gamma}$ en posant, pour $s\in[0,L]$, \[\hat\gamma(s)=\gamma\bigl(\phi(s)\bigr).\] Alors $\hat\gamma$ a la même image que $\gamma$ (au paramétrage près, c'est la même courbe) et $\|\hat{\gamma}'\|=1$ sur $[0,L]$.

Ainsi, si on veut suivre une route ou un chemin qui a été parcouru à vitesse variable par quelqu'un d'autre, on est libre de la ou le suivre à vitesse constante. En principe au moins (i.e. aux réalités du trafic près), on peut rouler sur une route avec le régulateur de vitesse enclenché quelle que soit la trajectoire de la route.

Autrement dit, la contrainte que tu veux imposer ne dit rien sur la géométrie de ta courbe.

Tu pinailles. Pour @Saturne, il s'agit de trouver une courbe qui n'est pas un grand cercle : de là à tomber sur une courbe paramétrée dont la dérivée s'annule assez pour poser problème, il y a assez de marge pour à peu près tout ce qu'on peut dessiner avec un ordinateur.

Bref, si tu veux, remplace « rien » par « presque rien en pratique ».