Anneaux et corps

Uiza
Uiza
Modifié (March 2023) dans Algèbre
Bonjour s'il vous plaît comment résoudre ces deux questions
1)Montrer que l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau peut être muni d'une structure de groupe ?
2)Avec quel groupe d'ordre 4 les groupes suivants sont-ils isomorphes? 
a- (Z/5Z)* , b- (Z/8Z)*
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Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Pour la 1, de quelles opérations disposes-tu ? Laquelle est la bonne (tu sais justifier qu'un ensemble muni d'une opération est un groupe).

    Cordialement.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    2)a) Écris les opérations à la main, tu verras bien qui ressemble à quoi. Tu as les tables de 4 groupes à écrire.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • stfj
    stfj
    Modifié (March 2023)
    1) Prendre un exemple tel que l'anneau $(\Z/6\Z,+,\times)$. Quelles sont ses unités ?... Puis, une fois compris cet exemple, tenter de généraliser. On procède toujours ainsi. Toujours du particulier au général. C'est la leçon paradoxale (en apparence seulement) que donnent de nombreux Bourbakis :)
  • JLapin
    JLapin
    Je prendrais plutôt l'anneau $(\R,+,\times)$ pour un premier exemple d'étude de la structure de l'ensemble des éléments inversibles : on retombe vite sur un groupe de référence.
  • Area 51
    Area 51
    $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times} \simeq \mu_4$ alors que $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} \simeq \text{Klein}$.


  • stfj
    stfj
    2) On envisage d'après la question 1) $(\Z/5\Z^*,\times)=(\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4\},\times)$ et on suit les conseils de @nicolas.patrois
  • marc0075
    marc0075
    Uiza a dit :
    Bonjour s'il vous plaît comment résoudre ces deux questions
    1)Montrer que l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau peut être muni d'une structure de groupe ?
    2)Avec quel groupe d'ordre 4 les groupes suivants sont-ils isomorphes? 
    a- (Z/5Z)* , b- (Z/8Z)*

    La réponse est dans la question   un groupe d'ordre 4 est de cardinal 4 comme (Z/5Z)* et non  (Z/8Z)* lequel a 7 éléments
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu penses que $(\Z/8\Z)^\times$ est formé des classes des éléments de $1$ à $7$ ? et qu'en particulier, $4$ est premier avec $8$ ? ou que la classe de $4$ est un générateur de $\Z/8\Z$ ?
  • Area 51
    Area 51
    Un de mes softwares a décidé de te contrarier (en exhibant les valeurs de "Euler's totient function").

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