Trouver une relation de récurrence d'ordre 2
Bonjour
Je suis bloqué face à un exercice de probabilité. Le voici.
Une urne contient $2a$ boules blanches et $a$ boules noires, indiscernables. On effectue une suite de tirages avec remise d'une boule de l'urne. On pose $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de tirages effectués lorsqu'on obtient pour la première fois deux boules noires lors de deux tirages consécutifs.
Il faut trouver une relation de récurrence d'ordre $2$ sur la suite $(P(X\ge n))_{n\ge 1}$.
Je n'arrive pas à trouver une relation d'ordre $2$. Cependant, j'ai démontré que :
$P(X\ge n+2) = P(X\ge n+3) + \frac{2}{27}P(X\ge n)$
Merci de votre aide !
Je suis bloqué face à un exercice de probabilité. Le voici.
Une urne contient $2a$ boules blanches et $a$ boules noires, indiscernables. On effectue une suite de tirages avec remise d'une boule de l'urne. On pose $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de tirages effectués lorsqu'on obtient pour la première fois deux boules noires lors de deux tirages consécutifs.
Il faut trouver une relation de récurrence d'ordre $2$ sur la suite $(P(X\ge n))_{n\ge 1}$.
Je n'arrive pas à trouver une relation d'ordre $2$. Cependant, j'ai démontré que :
$P(X\ge n+2) = P(X\ge n+3) + \frac{2}{27}P(X\ge n)$
Merci de votre aide !
Mots clés:
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
tu désignes $u_n = P(X >ou= n)$ avec $0 <ou= u_n <ou = 1$
et ton équation récurrente affine d'ordre 3 devient
$$u_{n+3} - u_{n+2} + o.u_{n+1} + \frac{2}{27}u_n = 0$$
son équation caractéristique est $x^3 - x^2 + \frac{2}{27} = 0$
que tu peux factoriser : $(x - 1/3)(x^2 - 2x/3. - 2/9)$
et tu vois apparaître trois racines réelles
$x_1 = 1/3$ ; $x_2 = \frac{1+\sqrt{3}}{3}$ et $x_3= \frac{1-\sqrt{3}}{3}$
soit encore $u_n = A.x_1^n + B.x_2^n +C.x_3^n$ avec n > 1
il conviendra de vérifier que $u_n$ reste compris entre 0 et 1
la détermination des constantes A, B, et C
se fera avec les conditions initiales concernant les probabilités
Cordialement.
Cependant, je me demandais si on ne pouvait pas directement récupérer une relation d'ordre $2$.
Pour $u_n$ l'initialisation est $u_1=u_2=1$, pour $v_n$ c'est $v_1=0$, $v_2=\dfrac19$.
Était-il nécessaire de calculer $(u_n)_n$ ?
Si $B_n=\text {"le }(n-1) -\text{ ième tirage est une boule noire et }X> n"$ est réalisé alors au n-ième tirage, je vais récupérer une boule blanche.
Et si au n-ième tirage, je récupère une boule blanche et que $X>n$, il est certain que $X>n+1$.
Donc, je trouve $\mathbb P(A_{n+1}|B_n) = 1$. Mais j'ai l'impression que sur ta matrice $A$, $\mathbb P(A_{n+1}|B_n) = 1/3$.
Note que ma matrice indique que $\mathbb P(A_{n+1}\mid B_n) =\dfrac23. $