Trois affirmations

Bonjour à toutes et à tous
Dans son dernier message, gerard0 a écrit ceci : 
"Ce qui n'est pas parfaitement défini n'existe pas pour elle (c'est-à-dire moi). (C'est la) base de quasiment toutes ses interventions sur le forum."

À la lecture de ce fil, c'est effectivement ce qu'on pourrait croire.

Mais, dans ce fil, j'ai prêché le faux pour savoir le vrai. Et il s'en est suivi que l'on m'a fait découvrir l'existence (que je vais ici considérer comme avérée) de nombres "non définissables ou non calculables".

Certains ou certaines d'entre vous se souviendront peut-être qu'il y a un an j'avais écrit une petite histoire dans laquelle un des personnages appelé Alice affirmait qu'il y avait dans $\mathbb{R}$ des éléments d'une autre nature que les éléments de $\mathbb{N}$.

Rappelez-vous. J'avais même fait dire à Alice, de façon imagée, que $\mathbb{N}$ était comparable à un ensemble infini de pommes bien rondes, alors que $\mathbb{R}$ ressemblait à une infinité de pommes réduites en compote à la surface de laquelle surnageait une infinité de pommes bien rondes, situation qui rendait impossible toute tentative de mettre $\mathbb{R}$ en bijection avec $\mathbb{N}$.

Afin d'étayer au mieux (?) mes propos, j'avais introduit les notions de "réel parfaitement déterminé" et "réel non parfaitement déterminé." On est ici aux antipodes de la remarque de gerard0 rappelée au début de ce message.

Le problème de la définition d'un réel non parfaitement déterminé avait provoqué une longue mais vaine discussion, notamment avec un Dom très patient avec moi.

Aujourd'hui, j'ai tout lieu de penser que ce que j'appelais l'année dernière "un réel non parfaitement déterminé" n'est autre qu'un nombre "non définissable ou non calculable".

Je trouve que je ne me débrouille pas trop mal.
Avec votre aide.

Tu vois, @JLapin
J'avais l'intuition qu'il y avait dans $\mathbb{R}$ des éléments d'une nature différente de celle des éléments de $\mathbb{N}$. Dans mon coin, j'avais qualifié ces nombres de "non parfaitement déterminés", mais je n'arrivais pas à faire coïncider mon intuition avec une réalité mathématique avérée. Maintenant c'est chose faite grâce au concept officiel de "réels non calculables" (voir notamment la page Wikipédia intitulée "nombre réel calculable"). C'est tout à fait ce qu'il me manquait.

Maintenant que ceci est acquis, je ne peux pas m'empêcher de me poser la question suivante. Est-il possible de construire une théorie des ensembles (numériques) en mettant de côté ces nombres non calculables, tout comme une géométrie non euclidienne a été créée en mettant de côté le cinquième postulat d'Euclide ?

Je ne pourrai évidemment pas répondre à cette question, ... mais Alice la posait déjà à Bob dans la petite histoire que j'avais écrite l'année dernière.
Cela dit, les mathématiciens n'ont peut-être pas attendu l'espiègle Alice pour répondre négativement à cette question.