La théorie de Feferman

Bonjour à tous,

Une fois de plus je suis em...bêté. Le texte suivant est traduit directement du Cantor's Attic (sauf la parenthèse à la fin du §2, qui est à ma sauce) :

1) "La théorie de Feferman est la théorie, exprimée dans le langage de ZFC augmenté d'un symbole de prédicat de classe unaire $C$, affirmant que $C$ est une classe close cofinale (ou un club) de cardinaux, et que tout $\gamma \in C$ a la propriété que $V_\gamma \prec V$. En d'autres termes, la théorie consiste en le schéma suivant d'axiomes :
$$\forall \gamma \in C \forall x \in V_\gamma \bigl [\varphi(x) \text{ ssi } \varphi^{V_\gamma}(x) \bigr ],$$
où $\varphi$ varie dans l'ensemble des formules. Donc, la théorie de Feferman affirme que l'univers $V$ est la réunion d'une chaîne de sous-structures élémentaires :
$$V_{\gamma_0} \prec V_{\gamma_1} \prec ... \prec V_{\gamma_\alpha} \prec... \prec V.$$
2) A première vue cette théorie apparaît comme relativement forte, puisqu'elle semble indiquer pour le moins que chaque $V_\gamma$, pour $\gamma \in C$, est un modèle de ZFC. Mais en fait il n'en est rien, et cette conclusion est incorrecte. Ce qu'on peut dire en revanche, c'est que pour tout axiome $\sigma$ de ZFC, la théorie implique que tout $V_\gamma$, pour $\gamma \in C$, satisfait $\sigma$. Mais comme la théorie est un schéma d'axiomes, il n'y a pas moyen de prouver, à partir de cette théorie, que tel ou tel $V_\gamma$ satisfait plus qu'un nombre fini d'axiomes de ZFC. En particulier, un simple argument de compacité montre que la théorie de Feferman est consistante, pourvu seulement que ZFC le soit, puisque, par le schéma de réflexion, toute sous-théorie finie de la théorie de Feferman est vraie dans tout modèle de ZFC. (En prenant la conjonction de tous les axiomes de la sous-théorie finie on obtient un énoncé unique, qui est vrai dans $V$, et qui donc se reflète dans des $V_\gamma$ pour $\gamma$ arbitrairement grand). Il s'en suit que la théorie de Feferman est en fait conservative au-dessus de ZFC et que, même couplée avec cette dernière, ne prouve pas de nouveaux faits concernant les ensembles qui ne seraient pas déjà prouvables dans ZFC seule.

3) La théorie de Feferman a été proposée comme une théorie naturelle dans laquelle on peut entreprendre d'utiliser la théorie des catégories des univers de Grothendieck, mais sans l'exigence de l'existence d'une classe propre de cardinaux inaccessibles. De fait, la théorie de Feferman offre l'avantage que les univers sont des sous-structures élémentaires
les uns des autres, ce qui est une caractéristique qui n'est généralement pas vraie sous l'axiome des univers de Grothendieck".

Voilà mon problème : je comprends parfaitement l'argument exposé au §2, mais ce qui me gêne c'est le fait que $V_\gamma \prec V$. Une sous-structure élémentaire d'un modèle de ZFC devrait être aussi un modèle de ZFC, non ?
Merci d'avance pour vos éclaircissements
Martial