"presque partout"

un_kiwi · March 2023

Bonjour bonjour
Je ne comprends pas la remarque donnée après l'exemple.

Je ne vois pas de différence, pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît.

Aussi, en regardant d'autres sources, je me suis rendu compte que la notion de partie négligeable pouvait varier : dans mon cours il s'agit d'ensemble mesurables de mesure nulle alors que pour d'autres il s'agit d'ensemble (plus nécessairement mesurables) inclus dans des parties mesurables de mesure nulle. Ces définitions sont-elles équivalentes ou la seconde est-elle plus générale que la première ?

Merci d'avance

gerard0 · March 2023

Bonjour.

De façon évidente la seconde est plus générale que la première (un ensemble est inclus dans lui-même).

Pour une mesure complète, tout ensemble négligeable au second sens est de mesure nulle.

Cordialement.

Barjovrille · March 2023

Bonjour,
Pour la différence. Dans l'exemple $f$ et $g$ sont mesurables. Dans la remarque pas forcément. Si $f$ et $g$ ne sont pas mesurables et que ta mesure est complète tu peux quand même définir la notion $f=g$ presque partout il suffit que $\{x \in X \mid f(x) \neq g(x) \}$ soit négligeable au sens de la deuxième définition (donc de mesure nulle car $\mu$ est complète).

un_kiwi · March 2023

Ok je crois avoir compris la subtilité : d'après mon cours $f =g$ p.p. si et seulement si $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in X\setminus N$, où $ N$ est une partie mesurable de mesure nulle. Or $\{ x\in X\mid f(x)\ne g(x)\}\subset N$ et si on suppose la mesure $\mu$ complète alors $\mu(\{ x\in X\mid f(x)\ne g(x)\})=0$. Le problème si j'ai bien compris est que si $f$ et $g$ ne sont plus supposées mesurables, l'ensemble $\{ x\in X\mid f(x)\ne g(x)\}$ n'est alors pas forcément mesurable. Ai-je bon ?

Pourquoi n'aurais-t-on pas nécessairement égalité : $N= \{ x\in X\mid f(x)\ne g(x)\}$ ?

Barjovrille · March 2023

Oui voilà c'est ça. Sauf que une fois que tu complètes ta mesure tous les ensembles négligeables deviennent mesurables et sont de mesure nulles. (on utilise l'expression compléter la mesure mais en fait on rajoute des éléments à la tribu par le biais de la mesure).

Pour résumer si tu trouves que l'ensemble qui t'intéresse est inclus dans un ensemble de mesure nulle si tu ne sais pas qu'il est mesurable tu ne peux pas dire $f=g$ p. p parce que la définition du presque partout ne fait intervenir que des ensembles mesurables. Mais quand tu complètes ta tribu l'ensemble négligeable que tu as trouvé devient mesurable et est de mesure nulle tu peux donc dire le presque partout sans problème mais c'est sur une tribu/mesure différente. Et c'est une extension de la définition dans le sens où tu parles de $f=g $ pp sur des fonctions qui ne sont à priori pas mesurables.

PS : quand ta mesure est complète tu as ensemble négligeable si et seulement si ensemble mesurable et de mesure nulle c'est peut-être pour ça que tu trouves des cours avec la première définition que tu as citée. Dans le sens ils ont peut-être complété la tribu/mesure sans le dire.

un_kiwi · March 2023

Ok merci d'avoir éclairci cette subtilité ! J'aurais une autre question.
Dans mon cours on montre l'équivalence entre $\int_X f\ d \mu =0$ et $f=0$ $\mu$-presque partout ($f : X\to [0,\infty]$ étant une fonction mesurable). Ne peut-on pas directement en déduire par linéarité de l'intégrale que

$\displaystyle \int_X f\ d\mu = \int_X g\ d \mu \ \Longleftrightarrow \ f=g\ \mu$-presque partout ?

Edit : Ok $f-g$ n'est peut-être plus positive auquel cas, on ne peut pas considérer son intégrale pour l'instant. Je vais regarder cela de plus près.

SkyMtn · March 2023

Prends un ensemble à deux éléments, munis-le de la tribu discrète et de la mesure de comptage. Peux-tu construire deux fonctions qui ont la même intégrale mais qui ne sont pas égales presque partout ?

un_kiwi · March 2023

Ok merci, je pensais tellement qu'on pouvait prendre un raccourcis mais non ! Merci encore

"presque partout"

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