Parabole : 2 tangentes et points de contact
Bonjour.
Lebossé-Hémery, p352 n°666.
Construire une parabole connaissant deux tangentes et leurs points de contact. On se bornera à déterminer son foyer et sa directrice.
J'appelle $B$ et $C$ les deux points, $A$ l'intersection des deux tangentes.
Les milieux $B'$ et $C'$ de $[AC]$ et $[AB]$ donnent une troisième tangente.
Jean-Denis Eiden p435, adapté au cas présent: La parabole est inscrite dans le triangle $AB'C'$, donc le foyer $F$ appartient au cercle $\Gamma$ circonscrit à $AB'C'$, et la directrice est sa droite de Steiner pour ce triangle.
Retour à l'exercice. Si on veut construire $F$ comme intersection de deux objets, reste à en trouver un autre que $\Gamma$.
Certes on peut, avec des milieux (ou des barycentres), tracer une autre tangente, puis un deuxième cercle circonscrit (= deuxième objet).
Mais GeoGebra m'a permis de constater qu'une droite, en vert sur le dessin, fait aussi l'affaire.
Devinette
Quel est le nom de cette cévienne du triangle $AB'C'$ ? (Je le connais !)
Ma langue au chat
Pourquoi cette cévienne convient-elle ?
"Help, I need somebody. Help, not just anybody. Heeelp !"
(Pour mettre une ambiance musicale. En réalité, il n'y a vraiment pas le feu.)
Lebossé-Hémery, p352 n°666.
Construire une parabole connaissant deux tangentes et leurs points de contact. On se bornera à déterminer son foyer et sa directrice.
J'appelle $B$ et $C$ les deux points, $A$ l'intersection des deux tangentes.
Les milieux $B'$ et $C'$ de $[AC]$ et $[AB]$ donnent une troisième tangente.
Jean-Denis Eiden p435, adapté au cas présent: La parabole est inscrite dans le triangle $AB'C'$, donc le foyer $F$ appartient au cercle $\Gamma$ circonscrit à $AB'C'$, et la directrice est sa droite de Steiner pour ce triangle.
Retour à l'exercice. Si on veut construire $F$ comme intersection de deux objets, reste à en trouver un autre que $\Gamma$.
Certes on peut, avec des milieux (ou des barycentres), tracer une autre tangente, puis un deuxième cercle circonscrit (= deuxième objet).
Mais GeoGebra m'a permis de constater qu'une droite, en vert sur le dessin, fait aussi l'affaire.
Devinette
Quel est le nom de cette cévienne du triangle $AB'C'$ ? (Je le connais !)
Ma langue au chat
Pourquoi cette cévienne convient-elle ?
"Help, I need somebody. Help, not just anybody. Heeelp !"
(Pour mettre une ambiance musicale. En réalité, il n'y a vraiment pas le feu.)
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Réponses
J'ai parlé de cette construction des dizaines de fois depuis des années.
Le triangle harpon $TAB\ $ se suffit à lui même.
On construit le quadrangle harmonique $TUAB$, encore faut-il savoir ce qu'est cette bestiole puisque la géométrie circulaire a disparu!
Le foyer $F$ est le milieu du segment $TU$.
Si on connait un peu la géométrie du triangle, la droite $TU$ est la $T$-symédiane.
Autrement dit la droite $TU$ est l'isogonale de la $T\ $-médiane, laquelle définit la direction asymptotique de la parabole (théorème de Poncelet).
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'étais content pour la symédiane qu'elle trouve une autre application (à mes yeux) que le point de Lemoine.
Merci pour Poncelet car lire que la médiane aussi met son grain de sel dans cette parabole, c'est agréable.
Dernière question, sans grand espoir.
Si on met l'accent sur le triangle $AB'C'$, la parabole pourrait prendre un air de cercle exinscrit déformé. Raison pour laquelle je cherchais à définir son foyer comme point de concours (équivalent à celui de la bissectrice intérieure et des deux extérieures) de trois droites. Si une (la symédiane) a bien voulu apparaître par hasard dans mes gribouillis, deux autres auraient pu exister qui se cachaient, et que la science qui règne alentour (I mean sur ce site) m'aurait aidé à découvrir.
En résumé: oui pour $F$ milieu de $[TU]=[AU]$, oui pour $F$ sur la symédiane issue de $A$. Pourquoi pas $F$ également sur d'autres droites, si possible aussi accessibles qu'une symédiane ?
Amicalement,
Swingmustard
A vrai dire, on est pas vraiment obligé de construire $U$.
La symédiane se suffit à elle même et par exemple $F$ est la projection orthogonale du centre $O$ du cercle circonscrit au triangle harpon $TAB$ sur la symédiane. On peut donc oublier le quadrangle harmonique qui a sombré à jamais en compagnie de la géométrie circulaire, ouf et reouf!
Amicalement
[small]p[/small]appus
il suffit de prendre des courbes de Bézier de degré $2$ :
- l'arc borné est défini par la courbe polynomiale de points de contrôle $P_0=B$, $P_1=A$ et $P_2=C$ ;
- l'arc non borné est défini par la courbe rationnelle de points de contrôle pondérés $\left(P_0;1\right)$, $\left(P_1;-1\right)$ et $\left(P_2;1\right)$.
La détermination des éléments caractéristiques de la parabole se fait par quelques changements de paramètres homographiques (cf. la thèse de Jean-Paul Bécar) ou à partir de la page 23 de la pièce jointe du sujet :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,863878,863952
La dernière courbe de Bézier rationnelle quadratique est définie par trois points massiques de contrôle :
- le sommet de la parabole ;
- un vecteur directeur à la parabole en son sommet ;
- un vecteur directeur de l'axe de la parabole.
Lionel
La droite reliant l'intersection des deux tangentes et le milieu des points de contact ne donne-t-elle pas la direction de l'axe ?
A+
Dans le dernier schéma donné par pappus, le foyer de la parabole est donné par la projection orthogonale du point O, centre circonscrit du triangle TBA, sur la T-symédiane.
Il s'agit exactement d'une des définitions du point de T-Dumpty (Dy), conjugué isogonal du point T-Humpty (projection de l'orthocentre sur la T-médiane).
Si U est la circumtrace de la T-symédiane, Dy (F ici) est en effet le milieu du segment TU.
Deux propriétés algébriques (non orientées) du point T-Dumpty (F ici) :
TF² = AF.BF
Une propriété angulaire.
Si l'on prolonge OF sur les côtés TB et TA, les deux céviennes de B et A à ces nouveaux points se croisent sur le point de Lemoine, sans doute sans intérêt dans la parabole.
Pour plus d'informations
https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2021-04/mr_4_2021_midpoint_of_symmedian_chord.pdf
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Données:
• une parabole 𝑝 de foyer F et de directrice δ
• point A extérieur à la parabole
• deux tangentes issues de A à la parabole en B et C
• P et Q les points milieux resp. de AB et AC
Cela nous donne une parabole inscrite dans le triangle ABC, au sens où elle est tangente en AB et AC, BC formant la corde de contact.
Considérons trois cercles circonscrits
• c₁︎ circonscrit au ΔABC de centre O,
• c₂︎ circonscrit au ΔAPQ,
• c₃︎ circonscrit au ΔOBC.
Montrez que
• l'intersection des cercles c₂︎ et c₃︎ donne les points
• F, foyer de la parabole, et
• O, centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
• AB/AC = BF/AF = AF/AC
Très belle fin de soirée,
Jean-Pol Coulon
J'ai soumis mon exercice (ci-dessus) dans plusieurs forums de discussions (non francophones).
Voici une réponse que je trouve remarquable de Ichung Chen un médecin biologiste généticien aux USA.
Dans sa réponse, rien n'est supposé « bien connu », ce qui répond à quelques questions posées ici et laissées sans réponse.
Je vous livre son texte sans commentaires.
denote D = midpoint of BC, E = AD ∩ p
P'EQ' is the tangent line,
where P' lies on AB and Q' lies on AC
consider the symmetric point of F to AB and AC,
denote as F₁︎ and F₂︎ and midpoint of F₁︎F₂︎ as M
due to AF₁︎ = AF₂︎ (=AF), AM⊥L,
since DM⊥L too, we have the conclusion:
AD is parallel to the axis of symmetry
denote the midpoint of EB and EC as G and H, by (1), P'G//AD, hence P' is the midpoint of AB,
similarly, Q' is the midpoint of AC,
therefore P' = P, Q' = Q,
which means PQ is exact the tangent line
consider the specific condition the BC⊥AD, i.e. F lies on AD
then by (2), AP = PB,
therefore FP⊥AB
perpendicular line from vertex V, intersects tangent line at K, then FK⊥the tangent line
now consider cyclic AKFJ, ∠FAJ = ∠FKJ = ∠FIK = ∠FBI, similarly, ∠FAB = ∠FCA, therefore △FAB~△FCA
general condition:
any three tangent lines of parabola with intersecting points A, K, J, we have
∠FAC(J) = ∠FBA(K) = ∠FKD(J),
hence A,K,F,J are cyclic
now back to original problem:
thus APFQ are cyclic
BA/AC = BF/AF = AF/CF
define O = symmetric A wrt O₂︎,
by homothetic, O is the center of △ABC
consider circle C₃︎ = (OBC),
∠BFC = ∠FAB + ∠FBA + ∠FAQ + ∠FQA
= 2∠BAC
= ∠BOC,
hence F lies on C₃︎
Jean-Pol Coulon