Cauchy-Schwarz différentiel

Bonjour
Si $f$ est une fonction $C^2$ sur $\mathbb R$ telle qu'elle et sa dérivée seconde soient de carré intégrable, alors $f'$ est de carré intégrable et on a la magnifique inégalité $$ \int_{\mathbf R}(f')^2 \leqslant \sqrt{\int_{\mathbf R}f^2} \sqrt{\int_{\mathbf R}(f'')^2} . $$
Étonnamment, je sais la démontrer lorsque $f$ est définie (et $C^2$, et $L^2$ avec sa dérivée seconde) sur $\mathbb R$ tout entier, mais je n'arrive pas à prouver l'analogue sur $\mathbb R^+ $ : avec $f$ vérifiant les mêmes hypothèses (mais sur $\mathbb R^+$ seulement), un exo de la RMS demande pourtant de montrer que $ (\int_0^\infty f'^2)^2 \leqslant \int_0^\infty f^2   \int_0^\infty (f'')^2 $.
Voici en quoi la preuve coince :
La relation $ \int_0^x (f')^2 + \int_0^x ff'' = [ff']_0^x$  montre $ff'$ admet une limite en $+\infty$ ($ff''$ est intégrable par C-S)
Avec $\int_0^x ff' = \frac{f(x)^2}{2} - \frac{f(0)}{2} $, on montre que $ff' \xrightarrow[+\infty]{} 0 $ (la limite existe, et si elle était non nulle, l'intégrale du membre de gauche tendrait vers $\pm\infty$, donc $f^2$ aussi, contredisant le fait que $f$ soit $L^2$.
Finalement, on peut écrire $ \int_0^\infty (f')^2 = [ff']_0^\infty - \int_0^\infty ff'' $
Si on veut montrer l'inégalité sur $\mathbb R$, pas de problème, on remplace $0$ par $y$ dans la relation précédente, et on le fait tendre vers $-\infty$ :
Par un raisonnement analogue,  $ff' \xrightarrow[-\infty]{} 0 $, donc 
 $ \int_{-\infty}^{+\infty} (f')^2 = [ff']_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} ff'' = - \int_{-\infty}^{+\infty} ff'' $ (le crochet étant nul, du coup) et on conclut par C-S.
On voit bien où on a utilisé le fait que $f$ était définie sur $\mathbb R$. Mais comment faire sur $\mathbb R^+$ ?
J'ajoute une question. Cette inégalité porte-t-elle un nom ? Je me doute que ce n'est pas "Cauchy-Schwarz différentiel"... x)