Polynômes stabilisant les rationnels : différentes preuves

Clairon · March 2023

On connaît bien la preuve de l'égalité suivante utilisant les polynômes de Lagrange.$$\Big\{ P \in \mathbb C[X] \mid P(\mathbb Q) \subset \mathbb Q) \Big\}
=
\mathbb Q[X]$$Connaissez-vous une autre preuve ?
Merci pour vos réponses.

JLapin · March 2023

Tu peux utiliser un déterminant de Vandermonde (ou une résolution de système linéaire à coefficients rationnels et à second membre rationnel).

gai requin · March 2023

Salut Clairon,

On peut montrer par récurrence sur $\deg P$ que pour tout $P\in\C[X]$, si $P(r)\in\Q$ pour tout rationnel $r$ sauf éventuellement un nombre fini, alors $P\in\Q[X]$.
En effet, soit $P$ un tel polynôme et $a\in\Q$ tel que $P(a)\in\Q$.
Alors $Q(X)=\dfrac{P(X)-P(a)}{X-a}$ vérifie aussi cette propriété sur les rationnels...