L'axiome de deuxième dénombrabilité

APf
APf
Modifié (March 2023) dans Topologie
Bonjour, est-ce que l'espace topologique $(X,\tau)$ avec $X$ premier dénombrable et $\tau=\{X\cap A^{c}\mid A\text{ dénombrable}\}$ est un espace topologique deuxième dénombrable ? Pour montrer que c'est un espace topologique deuxième dénombrable, je comprends que je dois montrer qu'il existe une base dénombrable pour $\tau$. Comment puis-je choisir cette base dénombrable pour $\tau$ ? Y a-t-il une façon intuitive de comprendre les axiomes de premier et deuxième dénombrable ?
Merci d'avance.
Cordialement, APf

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Modifié (March 2023)
    En français on ne dit "premier dénombrable" et "deuxième dénombrable" mais "à base dénombrable de voisinages" et "à base dénombrable d'ouverts".
    Le problème dans ta question c'est que la topologie de $X$ n'intervient pas dans la définition de $\tau$, donc la réponse n'aura rien à voir avec le fait que $X$ soit à base dénombrable de voisinage. Peut-être que tu voulais prendre $A$ fermé dénombrable dans la définition de $\tau$ ? En fait, qui sont tes $A$ ? Si ce sont des parties de $X$, pourquoi ne pas écrire $A^c$ au lieu de $X \cap A^c$ ? En tout cas il faut ajouter $\emptyset$ à $\tau$ pour avoir une topologie.
  • APf
    APf
    Modifié (March 2023)
    Hmm... merci, j'ai appris sur la notation terminologie; d'ailleurs, j'aurais dû écrire "$X$ ensemble dénombrable" ; je pensais aux axiomes. Je corrigerai cela dans ma première publication. Je continue de réfléchir...
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (March 2023)
    Si $X$ est dénombrable et si la topologie sur $X$ est celle pour laquelle les ouverts sont les $O\subset X$ tels que $X\setminus O$ est dénombrable (comme dans ton premier message), alors tous les sous-ensembles de $X$ sont ouverts, la topologie obtenue est la topologie discrète et l'ensemble des singletons est une base dénombrable d'ouverts.

    Enfin je fais l'hypothèse que c'est de ça qu'on parle...
  • APf
    APf
    Modifié (March 2023)
    Oh, bien sûr raoul.S; c'est justement ce que j'essayais de demander. Je pensais aux questions de Poirot ; lorsque j'ai formulé le problème, c'était quelque chose à quoi je pensais à la suite d'un autre problème. 
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