Cherchant une forme fermée d'une intégrale

APf · February 2023

Bonjour, avec le retour de LaTeX grâce à Manu, il est plus facile de lire. Je continue d'apprendre du forum. J'essaie de voir s'il est possible de trouver une forme fermée pour l'intégrale suivante : $$\int_{0}^{1}\frac{1}{2+3x-\cos(x)}dx.$$ En utilisant Wolfram, il semble que la valeur soit d'environ $C\pi$.
Merci d'avance.

JLapin · February 2023

Qu'est-ce que $C$ ?

Héhéhé · February 2023

Tout nombre réel $\alpha$ est sous la forme $C\pi$ en posant $C=\frac{\alpha}{\pi}$.

Math Coss · February 2023

Il doit s'agir de la constante de Catalan plutôt.
Ah non, pas du tout. L'intégrale vaut environ $0{,}446$ alors que la constante de Catalan vaut environ $0{,}9$.

Héhéhé · February 2023

Cela serait étonnant: si $C$ était la constante de Catalan, on aurait $C\,\pi$ qui vaut environ $2,9$ alors que l'intégrale proposée vaut environ $0,45$.

Bibix · February 2023

Je trouve numériquement : $\frac{1}{\pi} \int_0^1 \frac{1}{2+ 3 t - \cos(t)}dt \approx 0.1419$. On est loin de la constante de Catalan. Mon logiciel ne renvoie pas de valeur exacte donc ça me parait sans espoir, surtout avec ce genre de bornes ($0$ et $+\infty$ serait déjà plus facile je pense).

APf · February 2023

Oh, je suis désolé, je pense que mon message a été mal compris. Je voulais dire que je ne connais pas la valeur exacte de l'intégrale et que des expériences numériques utilisant wolfram semblent indiquer que c'est une constante fois $\pi$. Je ne sais pas, bien qu'à la réflexion cela ne semble pas être une grande observation, désolé encore. Pour en revenir au point initial, peut-on calculer la valeur exacte de l'intégrale?

APf · February 2023

C'est un problème qui s'est posé en essayant de calculer la norme d'un opérateur. Le but est seulement de savoir que l'intégrale converge mais j'étais curieux de savoir si on pouvait trouver la valeur exacte.

Chaurien · February 2023

Une constante ? Quelle constante ?

APf · February 2023

Bonjour, des expériences numériques semblent suggérer $\int_{0}^{1}\frac{1}{2-3x-\cos(x)}dx\approx \frac{45685}{321939}\pi$, mais je n'ai rien de formel pour croire que c'est la valeur exacte. Peut-être que ce n'est pas correct. Pour l'instant, je n'ai pas d'idées pour aborder l'intégrale.

JLapin · February 2023

Cette intégrale n'est certainement pas un multiple rationnel de $\pi$ et plus généralement, si tu prends une intégrale un peu au hasard, même fabriquée à partir de fonctions simples, elle ne se calculera pas à l'aide des fonctions usuelles.

APf · February 2023

Merci beaucoup pour vos commentaires ; je suppose que je vais devoir me contenter de savoir que l'intégrale converge et laisser l'intégrale dans un tiroir.

Math Coss · February 2023

Coquille (signe erroné) dans ce message. Je ne comprends pas pourquoi tu parles d'intégrale convergente quand il s'agit d'une intégrale d'une fonction continue pas du tout généralisée : en effet, $2+3x-\cos x$ ne s'annule pas sur $[0,1]$ ; en revanche, ça diverge avec $2-3x-\cos x$ (sauf pour un des intervenants du forum qui régularise ces choses sans le dire).

APf · March 2023

Je viens juste de rentrer des études; merci Math Coss, mon précédent message avait une erreur de signe et oui, je ne devrais pas l'avoir qualifié d '« intégrale convergente » lorsque nous avons une fonction continue sur tout l'intervalle d'intégration $[0,1]$; Je ferai plus attention la prochaine fois.

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