Fonctions définies sur des espaces de Hilbert
Bonjour,
j'ai essayé de réfléchir sur certaines questions, mais je n'y arrive pas.
Q1) Je n'arrive pas à exhiber un ensemble afin de faire correspondre ce que je veux. En effet je sais que l'image réciproque de $w$ par R est un convexe fermé non vide, et donc forcément si je réécris mon problème je trouve l'existence et l'unicité mais je n'arrive pas.
Q2) Est-ce que le fait de montrer que deux vecteurs qui ont la même image et de même norme sont égaux ? Je doute fortement de cet argument mais j'arrive à montrer que $s(w+\lambda w')$ et $s(w)+\lambda s(w')$ ont même image et vérifient la condition du min.
Q3) Je n'arrive surtout pas à trouver le caractère auto adjoint.
J'aimerais juste avoir des indications .
Merci d'avance pour votre compréhension.
j'ai essayé de réfléchir sur certaines questions, mais je n'y arrive pas.
Q1) Je n'arrive pas à exhiber un ensemble afin de faire correspondre ce que je veux. En effet je sais que l'image réciproque de $w$ par R est un convexe fermé non vide, et donc forcément si je réécris mon problème je trouve l'existence et l'unicité mais je n'arrive pas.
Q2) Est-ce que le fait de montrer que deux vecteurs qui ont la même image et de même norme sont égaux ? Je doute fortement de cet argument mais j'arrive à montrer que $s(w+\lambda w')$ et $s(w)+\lambda s(w')$ ont même image et vérifient la condition du min.
Q3) Je n'arrive surtout pas à trouver le caractère auto adjoint.
J'aimerais juste avoir des indications .
Merci d'avance pour votre compréhension.
Réponses
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Pour la Q1. pour l'existence tu utilises la surjectivité. Mais il y a trop de candidats il faut utiliser la deuxième condition pour réduire le nombre de candidats.
Deuxième condition tu minimise la norme de $V$ sur un convexe fermé non vide comme tu l'as dit, connais-tu des conditions sur la fonction à minimiser pour avoir existence et unicité d'un minimiseur ?
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Bonjour,
ça dépend si pour faire simple, si ma fonction que je veux définir est infinie à l'infini strictement convexe ça peut passer. Si j'ai une fonction $f$ est infinie à l'infini et continue elle admet au moins un minimiseur. Pour terminer avec l'unicité, la stricte convexité permet de conclure. Le souci je n'arrive pas à construire la fonction en question.
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Bonjour, il n'y a pas de fonction à construire, la fonction à minimiser c'est la norme de V. Sur le domaine R^-1(w). Pour les hypothèse que tu me dis c'est bien ça. Montre que la norme V est continue, infinie à l'infini. Puis strictement convexe sur l'image réciproque par R de w.
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Peut-0être ce qui t'embrouille c'est la 1ère condition qui est presque de trop. Je pense qu ils l'ont mise pour ne pas oublier de vérifier que tu minimises sur un ensemble non vide. Il faut prouver l'existence et l'unicité d'un minimiseur et ce minimiseur tu l'appelles s(w) ça répond à la question.
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Ok mais j'aimerais juste ne pas utiliser des arguments d'optimisation car c'est un exercice sur les espaces de Hilbert.
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Le théorème de projection sur un convexe fermé fait l'affaire pour la Q1, si tu l'as dans tes outils...
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Ce que je pense être juste . -
Pour la question 2 ce que je donne comme argument n'est pas juste j'imagine pour la linéarité ?
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À la dernière ligne de ton image il manque un quantificateur : $\forall v\in V, \|S(w)\|\leq \|v\|$ et il faut dire que tu utilises le th. de projection sur un convexe fermé.
Si tu arrives à montrer que $s(w)+\lambda s(w')$ vérifie la condition du min c'est bon par unicité. Tu fais comment ?Gon a dit :Q2) ...j'arrive à montrer que $s(w+\lambda w')$ et $s(w)+\lambda s(w')$ ont même image et vérifient la condition du min. -
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c'est surtout la continuité que je n'arrive pas à prouver avec les hypothèses de l'énoncé .
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Je ne crois pas que ta preuve de la linéarité soit correcte. Tu dis : on sait que $\|S(w)+\lambda S(w')\|\leq \|v\|$ tel que $R(v)=w+\lambda w'$.
Mais pourquoi on devrait avoir ceci ?
En ce qui concerne la continuité, une possibilité est de montrer que si on note $T$ la restriction de $R$ à $\ker(R)^{\perp}$ alors $T:\ker(R)^{\perp}\to W$ est bijective continue, de là en utilisant le théorème adéquat on en déduit que $T^{-1}$ est continue. Mais $T^{-1}=S$.
PS. D'ailleurs ceci montre également la linéarité étant donné que $T^{-1}$ est linéaire...
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Bonjour @raoul.S
Je le pense aussi.
J'avais laissé la question 2 de côté , je vais y revenir ces jours-ci.
Merci.
PS. Par exemple, pour la question 1, est-ce qu'on peut faire plus simple sans utiliser le théorème de projection sur un convexe complet. Je demande ça parce qu'une fois le prof m'avait dit qu'il n'acceptait pas des résultats d'optimisation.
(je suis un cours d'analyse en distanciel). -
Concernant ton PS, disons que la question 3 laisse comprendre que tu as le droit d'utiliser les projecteurs orthogonaux. Mais sans connaître ton cours j'ai du mal à te donner une réponse.
Disons que si tu peux utiliser le projecteur orthogonal $P$ sur $\ker(R)$ alors pour $v\in R^{-1}(\{w\})$ tu peux montrer que $S(w):=v-P(v)$ est bien défini et répond à la question 1... -
Bonjour,
Merci pour ton indication.
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Bonjour!
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