Séparabilité de $C_0(X)$.

Mais si tu montres que $\mathcal C_c(X)$ est séparable alors $\mathcal C_0(X)$ l'est aussi par densité du premier dans le second !

Si $X$ est de cardinal $\geq \aleph_1$ et est muni de la topologie discrète, alors il est localement compact, mais $C_c(X)$ n'est pas séparable, ni $C_0(X)$. En effet, pour $x \in X$, soit $\delta_x$ définie de $X$ dans $\R$, par $y \mapsto 1$ si $y=x$ et $y\mapsto 0$ sinon. Alors, si $x \neq x'$, $d(\delta_x, \delta_{x'})=1$ pour la distance associée à la norme $\|\cdot\|_{\infty}$. Donc $B(\delta_x,1/4) \cap B(\delta_{x'},1/4)= \emptyset$. Donc, un sous-ensemble dense ne peut être dénombrable.

Bonjour, Blanc qui est $K_n$ ?
Peut on modifier l'énoncé en rajoutant l'hypothèse $X$ est séparable ?

Soit $K$ un compact tel que $C^0 (K,[0,1])$ est séparable. Alors $K$ est séparable. En effet si $\{d_n, n \in \N \}$ est une partie dense de $C^0(K,[0,1])$ pour la topologie de la convergence uniforme (ça aurait été bien de dire de quelle topologie on parle mais je pense que c'est celle-ci) alors $x\in K \mapsto (d_n(x))_{n\in \N} \in [0,1]^{\N}$ est une fonction continue et injective, donc un homéomorphisme sur son image puisque $K$ est compact. D'autre part toute partie d'un espace métrique séparable est elle-même séparable; d'où le résultat.

Barjovrille a dit :

questions pour @Foys  , comment tu prouves que ta fonction est injective ?

Étant donnés $x,y\in K$ distincts, $\{x\}$ et $\{y\}$ sont des fermés (en français les compacts sont séparés ; l'enlèvement de cette hypothèse fait perdre un certain nombre de propriétés commodes des objets) disjoints. Donc comme $K$ est normal, il existe (Urysohn) une fonction $f$ continue de $A$ dans $[0,1]$ telle que $f(x)=0$ et $f(y)=1$. Soit $n\in \N$ tel que (densité) $\|f - d_n\|_{\infty} <\frac 1 3$  Alors $d_n(x)<\frac 1 3$ et $d_n(y)>\frac 2 3$ et donc $d_n(x)\neq d_n(y)$.